17.3 Генеральная и выборочная средняя

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака X.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения , , ..., признака генеральной совокупности объема N различны, то .

Если же значения признака , , ..., имеют соответственно частоты , , ..., , причем ,то

или .

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n.

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения , , ..., признака генеральной совокупности объема n различны, то .

Если же значения признака , , ..., имеют соответственно частоты , , ..., , причем ,то

или , где - варианта выборки, - частота варианты , - объём выборки.

Выборочная средняя является несмещённой оценкой генеральной средней.

Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

Найти несмещённую оценку генеральной средней.

Решение: Несмещённой оценкой генеральной средней является выборочная средняя

17.4 Генеральная и выборочная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику - генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Если все значения , , ..., признака генеральной совокупности объема N различны, то

Если же значения признака , , ..., имеют соответственно частоты , , ..., , причем , то

Пример 1. Генеральная совокупность задана таблицей распределения:

Найти генеральную дисперсию.

Решение: Найдем генеральную среднюю:

.

Найдем генеральную дисперсию:

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением.

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из генеральной дисперсии: .

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения вводят сводную характеристику - выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения .

Если все значения , , ..., признака выборки объема n различны, то

Если же значения признака , , ..., имеют соответственно частоты , , ..., , причем , то .

Пример 2. Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

Найти выборочную дисперсию.

Решение: Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем выборочную дисперсию:

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Вычисление дисперсии, безразлично - выборочной или генеральной, можно упростить, используя следующую теорему.

Теорема. Дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней: .

Пример. Найти выборочную дисперсию по данному распределению

Решение. Найдем выборочную среднюю:

.

Найдем среднюю квадратов значений признака:

.

Искомая дисперсия: .

Пусть нам необходимо по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь . Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через :

.

Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию .

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии: