- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •1 Краткая историческая справка
- •2 Основные комбинаторные объекты (типы выборок). Формулы и правила расчёта
- •2.1 Примеры решения задач
- •3 Случайные события. Классическое определение вероятности
- •3.1 Случайные события
- •3.2 Классическое определение вероятности
- •3.3 Относительная частота события
- •4 Статистическая и геометрическая вероятности
- •5 Вероятность сложных событий. Противоположные события. Условная вероятность
- •5.1 Алгебра случайных событий
- •5.2 Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •5.3 Противоположные события
- •5.4 Теорема умножения вероятностей
- •6 Вероятность появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса
- •6.1 Независимые события
- •6.2 Вероятность появления хотя бы одного события
- •6.3 Формула полной вероятности
- •6.4 Формулы Бейеса
- •7 Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •7.1 Формула Бернулли
- •7.2 Локальная теорема Лапласа
- •7.3 Интегральная теорема Лапласа
- •8 Понятие дсв. Распределение дсв. Функции от дсв
- •8.1 Случайная величина
- •8.2 Дискретная случайная величина (дсв)
- •8.3 Независимые случайные величины
- •8.4 Функция распределения случайной величины
- •9 Характеристики дсв и их свойства. Математическое ожидание, дисперсия, ско
- •9.1 Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •9.2 Свойства математического ожидания
- •9.3 Дисперсия дискретной случайной величины
- •9.4 Свойства дисперсии
- •9.5 Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины
- •10 Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение
- •10.1 Биноминальное распределение
- •10.2 Распределение Пуассона
- •10.3 Геометрическое распределение вероятности
- •11 Понятие нсв. Равномерно распределенная нсв
- •11.1 Непрерывная случайная величина (нсв)
- •11.2 Равномерно распределённая нсв
- •12 Функция плотности нсв. Характеристики нсв
- •12.1 Функция плотности нсв
- •12.2 Свойства плотности распределения
- •12.3 Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •13 Нормальное распределение. Кривая Гаусса. Правило трёх сигм
- •13.1 Нормальный закон распределения
- •13.2 Функция Лапласа
- •13.3 Правило трёх сигм
- •14 Показательное распределение. Характеристики показательного распределения
- •14.1 Показательное распределение
- •14.2 Характеристики показательного распределения
- •14.3 Показательный закон надежности
- •15 Центральная предельная теорема. Закон больших чисел
- •15.1 Неравенство Чебышева
- •15.2 Теорема Чебышева
- •15.3 Сущность теоремы Чебышева
- •15.4 Теорема Бернулли
- •15.5 Центральная предельная теорема
- •16 Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки
- •16.1 Задачи математической статистики
- •16.2 Генеральная и выборочная совокупности
- •16.3 Повторная и бесповторная выборки
- •16.4 Способы отбора
- •16.5 Статистическое распределение выборки
- •16.6 Эмпирическая функция распределения
- •16.7 Полигон и гистограмма
- •16.8 Характеристики вариационного ряда
- •17 Статистические оценки параметров распределения. Точечная и интервальная оценки
- •17.1 Статистические оценки параметров распределения
- •17.2 Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки
- •17.3 Генеральная и выборочная средняя
- •17.4 Генеральная и выборочная дисперсия
- •17.5 Точность оценки, надёжность. Доверительный интервал
- •17.6 Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •17.7 Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •18 Моделирование случайных величин. Моделирование дсв, нсв
- •18.1 Предмет метода Монте-Карло
- •18.2 Случайные числа
- •18.3 Разыгрывание дискретной случайной величины
- •18.4 Разыгрывание противоположных событий
- •18.5 Разыгрывание полной группы событий
- •18.6 Разыгрывание непрерывной случайной величины. Метод обратных функций
- •18.7 Приближённое разыгрывание нормальной случайной величины
16.4 Способы отбора
На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:
Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор.
Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор.
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения n объектов из генеральной совокупности объема N поступают так: выписывают номера от 1 до N на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют, т. е. карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и т. д. Так поступают n раз; в итоге получают простую случайную повторную выборку объема n.
Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной.
При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для того чтобы отобрать, например, 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если бы оказалось, что случайное число таблицы превышает число N, то такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить.
Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности.
Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, то отбирают каждую двадцатую деталь, и т. д. Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных.
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.
Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбивают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем простым случайным отбором выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии простым случайным отбором извлекают отдельные объекты.