1 Краткая историческая справка

Первоначальным толчком к развитию теории вероятностей послужили задачи, относящиеся к азартным играм (в переводе с французского “азарт”(le hazard) означает “случай”). Такого рода задачи неоднократно ставились в средневековой литературе, и решались иногда верно, а иногда неверно. Мощным стимулом развития теории вероятностей явились запросы страхового дела, которое зародилось ещё в 14 веке, а также, начиная с 17 века, демографии или, как тогда говорили, политической арифметики.

Теория вероятностей как наука зародилась в переписке Б.Паскаля и П.Ферма (1654г.). Затем Х.Гюйгенс в книге “О расчётах при азартных играх”(1657г.) попытался дать собственное решение вопросов, затронутых в этой переписке.

Важную роль для развития математической статистики сыграли работы Э.Галлея по демографии(1693г.).

В трактате Я.Бернулли “Искусство предположений”(1713г.), над которым он работал 20 лет и который был издан уже после смерти автора, впервые введено и широко использовалось классическое определение вероятности, а также применялась статистическая концепция вероятности.

В дальнейшем развитие теории вероятности связано с именами Муавра, Лапласа, Гаусса, Пуассона(18 век). Далее, в 19 веке, большую роль сыграли представители Петербургской математической школы В.Я.Буняковский, П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.А.Ляпунов. В 20 веке достижения этой науки связаны с именами российских учёных С.Н.Бернштейна, А.Я.Хинчина, А.Н.Колмогорова.

Теория вероятностей и математическая статистика и в настоящее время развиваются и применяются на практике: при организации производства, анализе технологических процессов, контроле качества продукции, маркетинговых и социологических исследованиях, страховом деле и т.д.

В связи с потребностями практики изготовители современного программного обеспечения включают программные продукты, связанные со статистической обработкой данных, не только в научно-исследовательские пакеты (Maple, Matlab, Matcad), но и в стандартное бизнес-обеспечение (Microsoft Office).

Для будущих программистов особенно важно, что изучение теории вероятностей и математической статистики прививает умения логически мыслить, отражать свойства различных явлений в чётких абстрактных формулировках, строить простейшие математические модели.

2 Основные комбинаторные объекты (типы выборок). Формулы и правила расчёта

Для успешного решения задач, с использованием классического определения вероятности, необходимо знать основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика – это раздел математики, изучающий методы решения комбинаторных задач.

Комбинаторные задачи – это задачи, в которых требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчёт всех возможных таких комбинаций.

Простейшие комбинации: перестановки, сочетания, размещения.

Перестановки (от французского слова – permutation) – это комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающихся только порядком расположения элементов.

Формула для расчёта количества перестановок:

( - эн факториал)

Факториал числа рассчитывается по формуле:

1!=1

0!=1

Пример 1. В соревновании участвовало 8 команд. Сколько существует вариантов в распределении мест между ними?

Решение: .

Ответ: 40320 варианта в распределении мест.

Сочетания (от французского слова – combinasion) – это комбинации, составленные из n различных элементов по k элементам и отличающихся составом элементов.

Формула для расчёта количества сочетаний: , .

Здесь порядок расположения элементов не важен.

Свойства сочетаний:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Пример 2. В полуфинале 8 команд, в финал попадает только три из них. Сколько существует вариантов выхода команд в финал?

Решение: .

Ответ: 56 вариантов выхода трёх команд в финал.

Размещения (от французского слова – arrangement) – это комбинации, составленные из n различных элементов по k элементам и отличающихся либо составом элементов, либо порядком расположения элементов.

Формула для расчёта количества размещений: , .

Здесь порядок расположения элементов важен.

Свойства размещений:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Пример 3. В финале 8 команд. Разыгрываются три медали. Сколько существует вариантов в распределении медалей?

Решение: .

Ответ: 336 вариантов в распределении медалей.

Связь между размещениями, перестановками и сочетаниями: .