16. Канонічні перетворення.

Рівняння Лагранжа, як і рівняння Гамільтона, мають однакову форму незалежно від конкретного змісту узагальнених координат. Це означає, що при переході до нових координат вказані рівняння зберігають свій вигляд, хоча геометричний зміст координат та імпульсів (а також вигляд функцій і ) буде іншим.

Іноді доцільно користуватись перетворенням типу

, (13.23)

коли нові координати залежать не тільки від старих координат, але й від імпульсів. При цьому рівняння руху, взагалі кажучи, втрачають вигляд рівнянь Гамільтона. Однак можна знайти такий клас перетворень, при яких вид рівнянь Гамільтона зберігатиметься. Такі перетворення називаються канонічними.

До формул для канонічних перетворень можна прийти наступним шляхом. Як було показано вище, рівняння Гамільтона можуть бути отримані з принципу екстремальної дії. Для того, щоб нові змінні також задовольняли рівнянням Гамільтона, для них також повинен справджуватись принцип екстремальної дії , (13.24)

де – функція Гамільтона в нових канонічних змінних. Таким чином, шукане перетворення (13.23) повинно переводити варіаційну рівність (13.20) в рівність (13.24) і навпаки. Це можливо лише за умови, що їх підінтегральні вирази відрізняються тільки на повний диференціал довільної функції часу, старих і нових узагальнених координат:

. (13.25)

Отже, . (13.26)

Будь-яке канонічне перетворення характеризується своєю функцією , яку називають твірною функцією перетворення.

Виходячи з рівності (13.25), знайдемо .

Підставляючи цей вираз у (13.26), отримаємо

. (13.27)

Розглядаючи час , координати і як незалежні змінні, на основі рівності (13.27) отримуємо , , (13.28)

При заданій функції формули (13.28) встановлюють зв’язок між старими і новими змінними і дають вираз для нової функції Гамільтона.

Іноді зручніше виражати твірну функцію не через змінні і , а через старі координати і нові імпульси . Для виведення формул канонічних перетворень у цьому випадку потрібно провести у співвідношенні (13.26) відповідне перетворення Лежандра:

.

Вираз, який стоїть під знаком диференціалу в лівій частині останньої рівності, виражений через змінні і , і є новою твірною функцією :

. (13.29)

Провівши відносно цієї функції операції, аналогічні попереднім, отримаємо

, , . (13.30)

Аналогічно можна перейти до формул канонічних перетворень, виражених через твірні функції, що залежать від змінних і .

Зв’язок між новою та старою функціями Гамільтона завжди виражається однаково: їх різниця визначається частинною похідною по часу від твірної функції. Зокрема, якщо остання не залежить від часу, то . Іншими словами, у цьому випадку для отримання нової функції Гамільтона достатньо підставити в величини , , виражені через нові змінні , .

17. Експериментальне обґрунтування спеціальної теорії відносності (ств). Постулати Ейнштейна.

Ньютонівська система механіки зазвичай приймається як наближення, застосовне лише в тому випадку, коли швидкості матеріальних точок системи малі в порівнянні з швидкістю поширення світла. Більш загальне дослідження проводиться в спеціальній теорії відносності (СТВ).

Перш ніж розглянути основні положення СТВ, узагальнимо спочатку ті уявлення про простір і час, які лежать в основі ньютонівської механіки.

1. Простір, що має три виміри, підкоряється евклідовій геометрії.

2. Поряд з тривимірним простором існує незалежний від нього час (незалежний в тому розумінні, в якому три виміри простору не залежать один від одного). Але разом з тим час пов’язаний з простором законами руху.

3. Масштаби і проміжки часу між заданими подіями однакові в різних системах відліку. Це відповідає ньютонівській концепції абсолютності простору й часу, згідно якої їх властивості вважаються незалежними від системи відліку – простір і час однакові для всіх систем.

4. Признається справедливість закону інерції Галілея-Ньютона, згідно якого тіло за відсутності дій з боку інших тіл рухається рівномірно й прямолінійно. Цей закон стверджує існування інерціальних систем відліку, в яких виконуються закони Ньютона а також принцип відносності Галілея.

5. З цих уявлень слідують перетворення Галілея, що виражають просторово-часовий зв’язок будь-якої події в різних інерціальних системах відліку. Якщо система відліку К рухається відносно системи К з швидкістю (рис. 19.1) і початок відліку часу відповідає моменту, коли початки координат О та О обох систем співпадали, то

.

Звідси слідує, що координати будь-якої події відносні, тобто мають різні значення в різних системах відліку; моменти ж часу, коли подія відбулася, однакові в різних системах. З останніх рівностей безпосередньо випливає закон додавання швидкостей:

,

де і – швидкості точки (частинки) в системах відліку К і К.

6. Виконується принцип відносності Галілея: всі інерціальні системи відліку еквівалентні між собою в механічному відношенні, тобто всі закони механіки інваріантні відносно перетворень Галілея.

7. Дотримується принцип дії на відстані: взаємодії тіл поширюються миттєво, тобто з нескінченно великою швидкістю.

Ці уявлення ньютонівської механіки достатньо відповідали сукупності експериментальних даних, відомих на той час

Першого випробування зазнав принцип відносності Галілея, який, як відомо, стосувався лише механіки – єдиного розділу фізики, що досяг на той час достатнього розвитку. По мірі розвитку інших розділів фізики, зокрема оптики та електродинаміки, виникло природне запитання: чи поширюється принцип відносності на інші явища? Якщо ні, то за допомогою цих немеханічних явищ можна в принципі розрізнити інерціальні системи відліку і в свою чергу поставити питання про існування головної, або абсолютної, системи.

Одне з таких явищ, яке, як очікували, по різному протікає в різних системах відліку, – це поширення світла. Згідно пануючої на той час хвильової теорії, світлові хвилі повинні поширюватися з певною швидкістю по відношенню до деякого гіпотетичного середовища – “світлоносного ефіру”, стосовно природи якого, щоправда, не було єдиної думки. Однак, якою б не була природа цього середовища, воно не могло бути нерухомим в усіх інерціальних системах відліку. Тим самим виділялася одна з інерціальних систем – абсолютна – та, що була нерухомою відносно ефіру. Покладалося, що тільки в цій системі швидкість поширення світла однакова в усіх напрямах. Якщо деяка інерціальна система рухається відносно ефіру з швидкістю , то в цій системі швидкість поширення світла повинна підкорятися звичайному закону додавання швидкостей: . Це припущення було перевірено на досліді, проведеному А.Майкельсоном у 1881 р. і повтореному у більш досконалому вигляді спільно з Е.Морлі у 1887 р. Виявилося, що аболютний рух Землі, тобто її рух відносно нерухомого ефіру, встановити оптичними засобами неможливо.

На користь того, що швидкість світла не залежить від швидкості джерела, говорили й деякі астрономічні спостереження (наприклад, над подвійними зірками), а також інші досліди, поставлені пізніше спеціально з метою перевірки цього факту.

А.Ейнштейн узагальнив відомі факти у вигляді двох принципів, які лежать в основі спеціальної теорії відносності.

1. Перший принцип – принцип відносності, стверджує, що всі закони природи однакові в усіх системах координат, що рухаються одна відносно одної рівномірно й прямолінійно. Це означає, що коли в одній інерціальній системі відліку фізичний закон виражається математичною формулою, то її вигляд повинен бути таким самим в усіх інших інерціальних системах.

2. Принцип сталості швидкості поширення світла: швидкість світла у вакуумі однакова в усіх інерціальних системах відліку. Звідси слідує, що рух джерела в інерціальній системі не впливає на швидкість світла, що ним випромінюється.

Із постулатів Ейнштейна також слідує, що швидкість поширення світла у вакуумі є граничною: жоден сигнал чи дія одного тіла на інше не можуть поширюватися з швидкістю, більшою .

Весь зміст СТВ випливає з двох її постулатів. На даний час обидва постулати Ейнштейна, як і всі наслідки з них, переконливо підтверджуються всією сукупністю накопиченого експериментального матеріалу.