12. Принцип екстремальної дії Остроградського-Гамільтона.

Найбільш загальне формулювання закону руху механічних систем дається так званим принципом Гамільтона-Остроградського (або принципом екстремальної дії).

Розглянемо загальне рівняння динаміки , звівши його до вигляду

.

Припустимо, що варіації ізохронні. Тоді, враховуючи властивості комутативності операцій варіювання і диференціювання, знайдемо

,

де – кінетична енергія системи. В результаті загальне рівняння динаміки запишеться у вигляді

. (13.6)

Розглянемо рух зображуючої точки на відрізку її дійсної траєкторії М1ММ2 (рис. 13.2). Нехай положенням точок М1 і М2 відповідають моменти часу і , а відрізок траєкторії порівняння М1ММ2 має спільні кінці М1 і М2 з відрізком дійсної траєкторії. Оскільки варіації ізохронні, то зображуюча точка, рухаючись по траєкторії порівняння, досягає точки М2 одночасно з точкою, яка рухається по дійсній траєкторії, якщо вони почнуть одночасний рух з точки М1. Отже, на кінцях відрізка М1ММ2 дійсної траєкторії варіації радіус-векторів точок системи рівні нулю:

. (13.7,а)

Аналогічним умовам задовольняють варіації узагальнених координат:

. (13.7,б)

Помножимо рівність (13.6) на диференціал часу і проінтегруємо його від до :

.

Другий член в лівій частині останньої рівності рівний нулю на основі умов (13.7,а). Це означає, що

. (13.8)

Рівність (13.8) визначає в загальній формі, справедливій для консервативних і неконсервативних систем, принцип Остроградського: дійсний рух матеріальної системи з голономними зв’язками відрізняється від інших кінематично можливих рухів тим, що для дійсного руху інтеграл від суми , взятий між двома довільними моментами часу, рівний нулю.

Розглянемо рух системи в консервативному силовому полі. У цьому випадку

,

в результаті чого рівність (13.8) набуває вигляду .

На основі ізохронності варіацій знайдемо

, (13.9)

де – функція Лагранжа.

Інтеграл виду

(13.10)

називається дією за Гамільтоном. Тут і – моменти часу, в які система займає певні положення, що характеризуються двома наборами значень координат і . Таким чином, на основі виразів (13.9) і (13.10) отримуємо рівність

, (13.11)

яка виражає принцип Гамільтона-Остроградського: дійсний рух системи з голономними зв’язками у консервативному полі відрізняється від інших кінематично можливих рухів тим, що для цього варіація дії, визначеної для довільного проміжку часу, рівна нулю.

Рівність (13.9) показує, що виконується необхідна умова існування екстремуму функціоналу . По цій причині принцип Гамільтона-Остроградського ще називають принципом екстремальної дії.

13. Екстремальний принцип Мопертюї-Лагранжа.

Розглянемо голономну консервативну систему. Її функція Гамільтона не залежить від часу, що визначає існування узагальненого інтегралу енергії

. (13.12)

Рух системи будемо представляти в -вимірному координатному просторі. Нехай М1 і М2 – точки цього простору, які задаються координатами і . Припустимо, що в початковий момент часу система займає положення, яке відповідає точці М1, і узагальнені швидкості (а відповідно й узагальнені імпульси ) можуть бути вибрані так, що при система займе положення, яке відповідає точці М2. Крива, що проходить через точки М1 і М2 і вздовж якої задовольняються диференціальні рівняння руху, є дійсним шляхом системи. На дійсному шляху функція Гамільтона постійна і її величина визначається початковими умовами.

Поряд з дійсним шляхом розглянемо інші кінематично можливі шляхи, нескінченно близькі до дійсного. Їх будемо називати шляхами порівняння, якщо вони: 1) проходять через одні й ті ж початкові й кінцеві положення М1 і М2; 2) вздовж кожного шляху порівняння функція Гамільтона постійна і рівна величині , яка відповідає дійсному шляху. При такому ізоенергетичному варіюванні час переходу системи з початкового положення системи в кінцеве не обов’язково однаковий для дійсного шляху і шляхів порівняння.

Варіаційний принцип, що розглядається нижче, дає критерій, який дозволяє виділити дійсний шлях серед усіх шляхів порівняння, що задовольняють вказаним властивостям 1 і 2.

В силу зв’язку функції Лагранжа з гамільтоніаном системи дію (13.10) можна виразити як

, (13.13)

де , – положення точок системи, що відповідають моментам часу і .

Розглянемо лише ті варіації, які відповідають закону збереження (13.12). Тоді другий інтеграл останнього виразу рівний нулю і тому можна варіювати лише функціонал

, (13.14)

який називається дією за Лагранжем. Далі врахуємо, що .

Крім того, у відповідності до закону збереження енергії .

Остання рівність дає можливість виразити як .

Тоді ,

а дія Лагранжа . (13.15)

Отже, у відповідності з принципом екстремальної дії рух системи з повною енергією Е і потенціальною енергією П відбувається по траєкторії у фазовому просторі, яка забезпечує екстремум функціоналу (13.15)

. (13.16)

Це твердження в механіці має назву принципу Мопертюї–Лагранжа. Відмітимо, що в інтегралі (13.15) повністю виключено час і принцип (13.16) містить лише геометричні елементи.

Для консервативної механічної системи, як відомо,

.

Тому дію Лагранжа можна представити у вигляді

. (13.17)

При цьому слід пам’ятати, що час не фіксується, а може змінюватись при переході від дійсного шляху до шляху порівняння і від одного шляху порівняння до іншого. Крім того, повна енергія системи одна й та ж на всіх шляхах порівняння.