2. Экстремум функции. Теорема о необходимых условиях.

Пусть ф-ия f(x) определена в области Х, х₀-внутренняя точка этой области.

Опр1: х₀-точка максимума f(x), если сущ-ет U(х₀) такая, что f(x)<f(х₀), для любого х U(х₀).

Опр2: х₀-точка минимума f(x), если сущ-ет U(х₀) такая, что f(x)>f(х₀) , для любого х U(х₀).

Если ф-я имеет максимум или минимум в данной точке, то говорят, что она имеет экстремум в данной точке.

Т.о необходимых условиях.

Пусть х₀ – точка экстремума f(x)(максимум или минимум) и сущ-ет f’(х₀). Тогда f’(х₀)=0.

Док-во:

Пусть х₀ – точка максимума: сущ-ет U(х₀). Тогда на интервале U(x₀) выполняется т.Ферма→f’(x₀)=0.

Билет №17.

1. Осью называется прямая, на которой выбрано направление. Дана ось U и вектор АВ, проведем через А и В плоскости α и β, перпендикулярные оси. Проекцией вектора АВ на ось U называется число, равное длине вектора А₁В₁, взятое со знаком «+», если направление вектора А₁В₁ совпадает с положительным направлением оси U, со знаком «-», если направление А₁В₁ противоположно направлению оси U (пр._UАВ=вел А₁В₁)

Т1. Проекция вектора на ось равна длине этого вектора, умноженного на cos угла наклона. пр._UАВ=|АВ| cosφ.

Док-во:

1)точка выхода лучей в т.А, ось V проходит через т.А.

т.С – проекция т.В на ось V. Тогда∟ВАС=∟φ

Отрезки параллельных прямых, заключенных между плоскостями, перпендикулярными этим прямым равны.

Вел. А₁В₁=велАС→ пр._VАВ=вел.АС

Вектор АВ и ось V расположены в одной плоскости, при этом: если φ-острый 0≤φ≤π/2, cosφ>0.

пр._VАВ=вел. А₁В₁₌ велАС=|АВ| cosφ

если φ – тупой π/2≤φ<π

пр._VАВ=вел. АС=|АВ| cosφ1=|АВ| cosφ

φ= π/2, пр._VАВ=вел. АС=|АС| cos π/2

Т2. Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций.

2. Определение непрерывности функции в данной точке. Функция называется непрерывной при х=а, если: lim_x→af(x)=f(a).(Если функция непрерывна в данной точке, то знак предела можно менять местами со знаком функции) Функция f(x) называется непрерывной, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim_Δx→0Δy=0. Пусть функция задана в правой полуокрестности точки а. Если lim_x→af(x)=f(a) (а>0), то функция непрерывна в точке а справа. Если lim_x→af(x)=f(a) (а<0), то функция непрерывна в точке а слева. Функция непрерывна при х=а, если она непрерывна слева и справа.

Точка α называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке нарушается условие непрерывности.

Виды разрывов:

1) Устранимый разрыв. Существует lim_x→af(x) и конечен. f(x)≠f(a) или f(x) не определена при х=а.

2) Разрыв 1 рода. Точка х=а – разрыв 1 рода, если существует конечный предел функции справа и слева, но они не равны друг другу.

3)Разрыв 2 рода. Точка х=а – разрыв 2 рода, если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке равен ∞ или не сущуствует.

Свойства непрерывных функций в точке.

Пусть f(x) и g(x) при х=а непрерывны:

1)f(x)±g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x) (g(x)≠0) – непрерывны при х=а. Свойства следуют из теоремы об арифметических операциях над функциями, имеющими предел.

2)Если функция непрерывна в точке а, то существует окрестность, в которой функция эта функция ограничена

3)Если функция непрерывна в точке а, то существует окрестность, в которой функция сохраняет знак.

4)Непрерывность сложной функции. Пусть у=f(U) непрерывна при U=U_0. А U=φ(x) непрерывна при х=а, притом φ(а)= U_0, тогда сложная функция у=f[φ(x)] непрерывна при х=а.

Билет №18.