1. Различные формы ур-я прямой на плоскости.

1) М₀М=t*U – параметрическое ур-е прямой m в векторной форме, где М₀(х₀,у₀)Єm, М(х,у)Єm, М₀М-вектор, U{α,β}- направляющий вектор, М₀М и U коллинеарны.

2) x=x₀+tα, y=y₀+tβ – параметрические ур-я прямой m в координатной форме, где М₀М(х-х₀,у-у₀), U{α,β}

3) х-х₀/α= у-у₀/β – каноническое ур-е прямой m.

4)Ах+Ву+С=0 – общее ур-е прямой m. Каждая линия плоскости определяется алгебраическим ур-ем I степени(прямая – множество точек, каждая из которых является решением ур-я).Замечание: Ах+Ву+С=0 – общее ур-е прямой, тогда ее направляющий вектор U={-B,A}.

5) х-х₀/х₁-х₀= у-у₀/у₁-у₀ – ур-е прямой m через 2 заданные точки, где М₀(х₀,у₀)Єm, М₁(х₁,у₁)Єm. Вектор М₀М₁-есть направляющий вектор прямой. М₀М₁={х₁-х_0, у₁-у₀}

6)у=кх+в – ур-е прямой с угловым коэффициентом.

7) у-у₀=к(х-х₀) – ур-е пучка прямых. М₀(х₀,у₀)Єm, к=tgα, направляющий вектор U=m₀={cosα,sinα}. Т.к. придавал различные численные коэф.к с помощью этого ур-я, можно определить любую прямую на плоскости, проходящую через М₀, кроме прямой параллельной оу(т.к. для этой прямой tgα= tgπ/2 не существует) т. М₀- центр пучка.

2. Теорема Коши.

Пусть ф-ии f(х) и g(x) определены на отрезке [a,b].

1. f(х) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b].

2. Существуют f’(х) и g’(x) на (а,b)

3. g’(x)≠0 для любых хЄ(а,b)

Тогда существует точка с на интервале (а,b), такая, что f’(х)/g’(x)=f(b)-f(a)/g(b)-g(a) (1).

Док-во:

Докажем, что g(b)≠g(a), иначе формула (1) теряет смысл. Предположим противное: g(b)=g(a). Тогда для ф-ии g(x) на отрезке [a,b] выполнены все условия теоремы Роля и потому найдется точка с на интервале (а,b), в которой g(c)=0. А это противоречит условию 3) т.Коши→ g(b)≠g(a).

Рассмотрим ф-ию F(x)=f(x)-kg(x), где число k выберем из условия F(a)=F(b), т.е. k=f(b)-f(a)/g(b)-g(a). Для ф-ии F(x) на отрезке [a,b] выполнены все условия т.Ролля. По т.Ролля найдется точка с на интервале (а,b), такая, что F’(c)=0 или f’(c)-kg’(c)=0, откуда f’(c)/g’(c)=f(b)-f(a)/g(b)-g(a).

Билет №4.

1. Расстояние от точки до прямой.

Расстоянием от точки, не лежащей на прямой, до этой прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. ρ – расстояние. ρ(M₀;m)=|M₀N|

Т: Пусть прямая m задана уравнением: Ах+Ву+C=0

Задана М₀(x₀;y₀) не принадлежащая m. Тогда ρ(M₀;m)=|Ax₀+By₀+C|/√A²+B²

Док-во:

Рассмотрим n={A;B}≠θ. Утверждение: n┴(m) ↔ n┴U={-B;A};

nU=A(-B)+BA=0

вектор n – нормальный вектор пр.m. Из M₀ проведём прямую l┴m, тогда n будет находиться на l. Возьмем любую т.М(х,у)Єm

ρ(M₀;m) определение= |M₀N|=|пр._nM₀N|=|M₀M*n|/|n|

M₀M={x-x₀;y-y₀}

|А(х-x₀)+В(у-y₀)|/√A²+B²=|(Ах+Ву+C)-(Ах₀+Ву₀+C)|/√A²+B²=|Ах₀+Ву₀+C|/√A²+B²

2. Дифференциал функции y=f(x). Теорема о связи между дифференцируемостью и существованием конечной производной.

Пусть ф-ия y=f(x) определена в U(x₀). Дадим аргументу приращение ∆х и рассмотрим приращение ф-ии ∆у= f(x+∆х)- f(x₀). Опр1.Ф-ия f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если приращение ф-ии ∆у в точке х₀ может быть представлено в виде ∆у=А∆х+о(∆х) (1), где А-некоторое число, не зависящее от х. Из (1): ∆у- А∆х= о(∆х) →по т.о б.м.ф. ∆у~А∆х при ∆х→0.

Если из суммы б.м.разных порядков отбросить б.м.высших порядков, то оставшаяся часть, эквивалентная всей сумме, называется главной частью→ А∆х для ∆у главная часть, если А≠0.Опр2.Главная часть приращения функции А∆х, линейная относительно ∆у, называется дифференциалом ф-ии f(x) в точке x₀ и обозначается dy. По опр.полагают, что дифференциал независимой переменной dx=∆х, тогда dy=Adx.

Т.Ф-ия f(x) дифференцируема в точке x₀ тогда и только тогда, когда сущ-ет ее конечная производная в этой точке f’(x₀).

Док-во:

Необходимость. Пусть ф-ия f(x) дифференцируема в точке x₀, т.е. ∆у=А∆х+о(∆х). Тогда ∆у/∆х=А+ о(∆х)/ ∆х при ∆х→0 о(∆х)/ ∆х→0. Поэтому сущ-ет lim_∆х→0∆у/∆х= f’(x₀)=A.

Достаточность. Пусть сущ-ет f’(x₀)= lim_∆х→0∆у/∆х. По т1 о б.м.ф. ∆у/∆х= f’(x₀)-α(∆х), где α(∆х)→0, при ∆х→0. Отсюда ∆у= f’(x₀) ∆х+ α(∆х) ∆х.

Обозначим через А не зависящее от ∆х число f’(x₀). Получим ∆у=А∆х+о(∆х), а это значит, что ф-ия f(x) дифференцируема в точке x_0.

Замечания:1.Доказанная т.позволяет отождествлять для ф-ии одной переменной сущ-ие конечной производной в данной точке с дифференцируемостью ф-ии в этой точке.2.Т.к. А= f’(x₀), то дифференциал ф-и в данной точке при данном ∆х находится по формуле dy= f’(x₀)dx.

Билет №5.