1.Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.

Пусть дана прямоугольная система координат.

Т1. Каждая плоскость есть множество точек, которые являются решением некоторого алгебраического уравнения I степени.

Т2. Всякое алгебраическое уравнение I степени определяет плоскость в некоторой прямоугольной системе координат.

Док-во:

Т1. 1)Пусть задана прямоугольная система координат и некоторая плоскость π. Возьмём любую т.M₀(x₀,y₀,z₀) принадлежит π. Обозначим нулевой вектор n={A,B,C} и пусть т.М(x,y,z) – это любая точка плоскости.

т.М(x,y,z)Єπ ↔ M₀M┴n ↔ n* M₀M=0 ↔ (1) A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Ax+By+Cz+D=0 (2)

D=-Ax₀-By₀-Cz₀

Т.о. каждая точка плоскости π является решением у-я (2), т.е. у-е (2)-есть ур-е плоскости π.

Замечания: 1) Всякий ненулевой вектор n┴π будем называть нормальным вектором этой плоскости. 2) Ур-е (2) – общее Ур-е плоскости. Коэффициенты А,В,С этого ур-я - есть координаты нормального вектора плоскости. 3) Ур-е (1) есть у-е плоскости, которое проходит через заданную т. M₀(x₀,y₀,z₀) и имеет нормальный вектор n={A,B,C}.

Т2. 1) Пусть Ax+By+Cz+D=0 (хотя бы один из коэфф., А,В,С≠0)

Дано произвольное алгебраическое у-е I степени. Пусть т.M₀(x₀,y₀,z₀) – решение у-я (2)(Всегда существует решение у-я (2)): Ax₀+By₀+Cz₀+D=0 (3). Вычтем из равенства (2) равенство (3):

(4) A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 – это у-е определяет плоскость, проходящую через т.M₀и имеет норм.вектор n={A,B,C}.

Т.к. у-е (2) и (4) равносильны, то у-е (2) определяет ту же плоскость.

2. Теорема Коши.

Пусть ф-ии f(х) и g(x) определены на отрезке [a,b].

1.f(х) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b].

2.Существуют f’(х) и g’(x) на (а,b)

3.g’(x)≠0 для любых хЄ(а,b)

Тогда существует точка с на интервале (а,b), такая, что f’(х)/g’(x)=f(b)-f(a)/g(b)-g(a) (1).

Док-во:

Докажем, что g(b)≠g(a), иначе формула (1) теряет смысл. Предположим противное: g(b)=g(a). Тогда для ф-ии g(x) на отрезке [a,b] выполнены все условия теоремы Роля и потому найдется точка с на интервале (а,b), в которой g(c)=0. А это противоречит условию 3) т.Коши→ g(b)≠g(a).

Рассмотрим ф-ию F(x)=f(x)-kg(x), где число k выберем из условия F(a)=F(b), т.е. k=f(b)-f(a)/g(b)-g(a). Для ф-ии F(x) на отрезке [a,b] выполнены все условия т.Ролля. По т.Ролля найдется точка с на интервале (а,b), такая, что F’(c)=0 или f’(c)-kg’(c)=0, откуда f’(c)/g’(c)=f(b)-f(a)/g(b)-g(a).

Билет №16.