1. Расстояние от точки до прямой.

Расстоянием от точки, не лежащей на прямой, до этой прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. ρ – расстояние. ρ(M₀;m)=|M₀N|

Т: Пусть прямая m задана уравнением: Ах+Ву+C=0

Задана М₀(x₀;y₀) не принадлежащая m. Тогда ρ(M₀;m)=|Ax₀+By₀+C|/√A²+B²

Док-во:

Рассмотрим n={A;B}≠θ. Утверждение: n┴(m) ↔ n┴U={-B;A};

nU=A(-B)+BA=0

вектор n – нормальный вектор пр.m. Из M₀ проведём прямую l┴m, тогда n будет находиться на l. Возьмем любую т.М(х,у)Єm

ρ(M₀;m) определение= |M₀N|=|пр._nM₀N|=|M₀M*n|/|n|

M₀M={x-x₀;y-y₀}

|А(х-x₀)+В(у-y₀)|/√A²+B²=|(Ах+Ву+C)-(Ах₀+Ву₀+C)|/√A²+B²=|Ах₀+Ву₀+C|/√A²+B²

2.Теорема о производной сложной функции.

Пусть ф-ия у=F(U) имеет производную в точке U₀ – F’(U₀), а ф-ия U=φ(x) имеет производную в точке х₀ – φ’(х₀) и U₀= φ(х₀).

Тогда существует производная сложной ф-ии: F’(U)|_x=x0=F’[φ(x)]=F’(U₀) φ’(х₀)

Док-во:

y=F[φ(x)] U= φ(x)

Даем Δх и получаем Δу,ΔU.

Δу/Δх= Δу/ΔU* ΔU/Δх (1)

Замечание: когда мы даем Δх, то может случиться, что ΔU=0, тогда Δу/ΔU – не определено и равенство (1) теряет смысл.

Δу/ΔU – ф-я от ΔU и при ΔU=0, ф-я имеет устранимый разрыв:

т.к. существует lim_ΔU→0 Δу/ΔU= F’(U₀), при ΔU=0 Δу/ΔU= F’(U₀) следовательно формула (1) имеет смысл при всех ΔU.

lim_Δх→0 Δу/Δх= lim_Δх→0 Δу/ΔU* ΔU/Δх= F’(U₀)* φ’(х₀)

Билет №13.

1. Угол от одной прямой до другой на плоскости.

y=k₁x+α₁ (1) y=k₂x+α₂ (2). Углом от одной прямой(1) до прямой (2) называется угол α₁₂, на которой нужно повернуть прямую (1) против часовой стрелки до совмещения с прямой (2).

α₁₂=0, tg α₁₂=0↔ k₁=k₂ – прямые параллельны.

α₁₂=π/2, tg π/2 – не сущ-ет→ k₁=-1/k₂- прямые перпендикулярны.

2. Теоремы об арифметических операциях над функциями, имеющими предел. Пусть функции f(x) и g(x) заданы в окрестности точки А (хЄU(a)). Существует lim_x→af(x)=A и lim_x→af(x)=B.

Тогда существуют следующие пределы и имеют место равенства:

1) Существует lim_x→a[f(x)±g(x)]=А±В

2) Существует lim_x→af(x)*g(x)=АВ

3) Если В≠0, то существует lim_x→af(x)/g(x)=А/В

Билет №14.

1. Прямая линия в пространстве. Канонические и параметрические уравнения. Общие уравнения прямой.

Прямая линия в пространстве определена, если известна т.М₀(x₀,y₀,z₀)Єпрямой и её направляющий вектор U={α,β,γ}.

Док-во:

т.М(x,y,z)Єm →ММ₀ коллинеарен U. Сущ-ет число t такое, что ММ₀=tU (параметрическое ур-е прямой векторной форме).

ММ₀={x-x₀,y-y₀,z-z₀}: x=x₀+αt, y=y₀+βt, z=z₀+γt (параметрическое ур-е в координатной форме).

Исключим параметр t: x-x₀/α=y-y₀/β=z-z₀/γ (каноническое ур-е прямой в пространстве).

Прямую можно задавать в общей форме

1) М₀М=t*U – параметрическое ур-е прямой m в векторной форме, где М₀(х₀,у₀)Єm, М(х,у)Єm, М₀М-вектор, U{α,β}- направляющий вектор, М₀М и U коллинеарны.

2) x=x₀+tα, y=y₀+tβ – параметрические ур-я прямой m в координатной форме, где М₀М(х-х₀,у-у₀), U{α,β}

3) х-х₀/α= у-у₀/β – каноническое ур-е прямой m.

4)Ах+Ву+С=0 – общее ур-е прямой m. Каждая линия плоскости определяется алгебраическим ур-ем I степени(прямая – множество точек, каждая из которых является решением ур-я).Замечание: Ах+Ву+С=0 – общее ур-е прямой, тогда ее направляющий вектор U={-B,A}.

5) х-х₀/х₁-х₀= у-у₀/у₁-у₀ – ур-е прямой m через 2 заданные точки, где М₀(х₀,у₀)Єm, М₁(х₁,у₁)Єm. Вектор М₀М₁-есть направляющий вектор прямой. М₀М₁={х₁-х_0, у₁-у₀}

6)у=кх+в – ур-е прямой с угловым коэффициентом.

7) у-у₀=к(х-х₀) – ур-е пучка прямых. М₀(х₀,у₀)Єm, к=tgα, направляющий вектор U=m₀={cosα,sinα}. Т.к. придавал различные численные коэф.к с помощью этого ур-я, можно определить любую прямую на плоскости, проходящую через М₀, кроме прямой параллельной оу(т.к. для этой прямой tgα= tgπ/2 не существует) т. М₀- центр пучка.

2. Производная. Геометрический смысл. Теорема о связи между сущ-ем конечной производной и непрерывностью.

Пусть ф-ия у=f(x) определена в U(x₀). Дадим аргументу приращение ∆х и рассмотрим значение х=x₀+∆х. При этом ф-ия получит приращение ∆у= f(x)- f(x₀)= f(x₀+∆х)- f(x₀). Если сущ-ет конечный lim_∆х→0∆у/∆х, то этот предел называется производной от ф-ии f(x) в точке x₀.

Производная в данной точке есть число. Если производная сущ-ет в каждой точке промежутка, то она является ф-ей от х, заданной на этом промежутке. При этом говорят, что ф-ия дифференцируема на этом промежутке. Операция отыскания производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл. Производная от ф-ии в данной точке f’(x₀) равна угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии у=f(x) в точке М₀(x₀, f(x₀)).

Т. Если ф-ия f(x) имеет конечную производную в точке x₀, то она непрерывна в точке x₀.

Док-во:

По условию т.сущ-ет f’(x₀)= lim_∆х→0∆у/∆х. По т.1 о б.м.ф. ∆у/∆х= f’(x₀)+α(∆х), где α(∆х)→0 при ∆х→0. Тогда ∆у= f’(x₀)∆х+ α(∆х)∆х отсюда следует: если ∆х→0, то ∆у→0, т.е. ф-ия непрерывна в точке x₀.

Билет №15.