2.Теорема Лагранжа.

Пусть ф-ия f(x) определена на отрезке [a,b].

1. f(x) непрерывна на [a,b].

2. Сущ-ет f’(x) xЄ[0;1]. Тогда найдется точка на интервале (a,b), такая, что f’(c)=f(b)-f(a)/b-a

Док-во:

Рассмотрим ф-ию F(x)=f(x)-kx – некоторое число. Выберем его так, чтобы для ф-ии F(x) на [a,b] выполнялись все условия т.Ролля.

1. F(x) непрерывна на [a,b] как разность 2ух непрерывных ф-ий.

2. F’(x)=f’(x)-k для любых хЄ(a,b)

3. выберем число k так, чтобы выполнялось условие F(a)=F(b) или f(a)-ka=f(b)-kb, откуда k=f(b)-f(a)/b-a. По т.Ролля сущ-ет точка с на интервале (a,b), такая что F’(c)=f’(c)-k=0 или f’(c)=k= f(b)-f(a)/b-a.

Билет №11.

1. Координаты вектора, координаты точки. Длина и направление вектора.

Ось, на которой выбрано начало отсчета т.О и единица длины называется координатной осью или числовой осью. Каждой точке на этой оси соответствует единственное действительное число и обратно: каждому единственному числу соответствует единственная точка. 3 взаимоперпендикулярные прямые(ох, оу, oz – абсцисс, ординат, аппликат). Вектор а, AxAyAz, пр.А на ох,оу,oz. (пр_ха=велОА_х=х_а, пр._уа=велОА_у=у_а, пр._za=велОА_z=z_a)

Проекции вектора на оси прямоугольной системы координат числа х_а, у_а, z_a называются декартовыми прямоугольными координатами вектора.

Т.Если известны координаты вектора, то он полностью определен, т.е. можно установить его длину и направление в пространстве.

Док-во:

1) Установление формулы для вычисления длины вектора. Квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон. ‌‌‌‌‌‌|ОА|²=‌‌‌ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|ОА_х|²+|ОА_у|²+|ОА_z|². ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|а|²=‌‌‌ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|х_а|²+|у_а|²+|z_a|². |а|=‌‌‌ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌√|х_а|²+|у_а|²+|z_a|²

2) Направление вектора в пространстве. Оно задано, если известны ∟α,β,γ, которые вектор составляет с системой координат. cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы вектора а. Т1 о проекции вектора на ось: х_а=|а|cosα→ cosα= х_а/|а|, cosβ= у_а/|а|, cosγ= z_а/|а|. Для направляющего косинуса выполняется тождество: cosα+cosβ+cosγ=1.

2. Экстремум функции. Теорема о достаточных условиях.

Пусть ф-ия f(x) определена в области Х, х₀-внутренняя точка этой области.

Опр1: х₀-точка максимума f(x), если сущ-ет U(х₀) такая, что f(x)<f(х₀), для любого х U(х₀).

Опр2: х₀-точка минимума f(x), если сущ-ет U(х₀) такая, что f(x)>f(х₀) , для любого х U(х₀).

Если ф-я имеет максимум или минимум в данной точке, то говорят, что она имеет экстремум в данной точке.

Т.о достаточных условиях:

Пусть х₀-кр.точка ф-ии f(x).1)Сущ-ет U(х₀): сущ-ет f’(x), xЄU(х₀), кроме может быть т.х_0.2)ф-ия непрерывна в т.х_0. Тогда если в пределах U(х₀): 1. f’(x)<0 при х< х₀; f’(x)>0 при х>х₀, то х₀-min. 2. f’(x)>0 при х< х₀; f’(x)<0 при х>х₀, то х₀-max.

Док-во:

Пусть выполняется 1). Надо док-ть, что f(x)> f(х₀) для любых хЄ U(х₀). Возьмем х< х₀. На [х;х₀] для ф-ии f(x) выполняется условие т.Лагранжа. f(х₀)- f(x)=f’(c)(х₀-x), x<c<х₀. f(х₀)- f(x)<0 или f(х₀)<f(x).

Для х>х₀: f(x)-f(х₀)= f’(c)(х- х₀); f(x)-f(х₀)>0, f(x)>f(х₀)

Замечание: если f’(x) имеет один и тот же знак слева и справа, то экстремума в т. х₀ нет.

Билет №12.