
- •Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •2.Теорема о производной сложной функции.
- •1. Векторное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •1. Различные формы ур-я прямой на плоскости.
- •2. Теорема Коши.
- •1. Расстояние от точки до прямой.
- •1. Угол от одной прямой до другой на плоскости.
- •2.Теорема Ролля.
- •1.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •2. Теорема Ферма.
- •Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.
- •1. Теорема о разложении вектора по ортонормированному базису.
- •1. Прямая линия в пространстве. Теорема об ее задании.
- •2.Свойства предела функции.
- •1. Производная. Геометрический смысл. Теорема о связи между сущ-ем конечной производной и непрерывностью.
- •2.Теорема Лагранжа.
- •1. Координаты вектора, координаты точки. Длина и направление вектора.
- •2. Экстремум функции. Теорема о достаточных условиях.
- •1. Расстояние от точки до прямой.
- •2.Теорема о производной сложной функции.
- •1. Угол от одной прямой до другой на плоскости.
- •1. Прямая линия в пространстве. Канонические и параметрические уравнения. Общие уравнения прямой.
- •1.Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.
- •2. Теорема Коши.
- •1.Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.
- •2. Экстремум функции. Теорема о необходимых условиях.
- •1. Векторы. Основные определения. Проекция вектора на ось. Теорема о проекции на ось.
- •2. Правила нахождения производной. Теорема о производной произведения.
- •1. Координаты вектора, координаты точки. Длина и направление вектора.
- •1.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •1. Прямая линия в пространстве. Теорема об ее задании.
- •1. Теорема о разложении вектора по ортонормированному базису.
- •1. Расстояние от точки до прямой.
2.Теорема Лагранжа.
Пусть ф-ия f(x) определена на отрезке [a,b].
f(x) непрерывна на [a,b].
Сущ-ет f’(x) xЄ[0;1]. Тогда найдется точка на интервале (a,b), такая, что f’(c)=f(b)-f(a)/b-a
Док-во:
Рассмотрим ф-ию F(x)=f(x)-kx – некоторое число. Выберем его так, чтобы для ф-ии F(x) на [a,b] выполнялись все условия т.Ролля.
F(x) непрерывна на [a,b] как разность 2ух непрерывных ф-ий.
F’(x)=f’(x)-k для любых хЄ(a,b)
выберем число k так, чтобы выполнялось условие F(a)=F(b) или f(a)-ka=f(b)-kb, откуда k=f(b)-f(a)/b-a. По т.Ролля сущ-ет точка с на интервале (a,b), такая что F’(c)=f’(c)-k=0 или f’(c)=k= f(b)-f(a)/b-a.
Билет №11.
1. Координаты вектора, координаты точки. Длина и направление вектора.
Ось, на которой выбрано начало отсчета т.О и единица длины называется координатной осью или числовой осью. Каждой точке на этой оси соответствует единственное действительное число и обратно: каждому единственному числу соответствует единственная точка. 3 взаимоперпендикулярные прямые(ох, оу, oz – абсцисс, ординат, аппликат). Вектор а, AxAyAz, пр.А на ох,оу,oz. (прха=велОАх=ха, пр.уа=велОАу=уа, пр.za=велОАz=za)
Проекции вектора на оси прямоугольной системы координат числа ха, уа, za называются декартовыми прямоугольными координатами вектора.
Т.Если известны координаты вектора, то он полностью определен, т.е. можно установить его длину и направление в пространстве.
Док-во:
1) Установление формулы для вычисления длины вектора. Квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон. |ОА|2= |ОАх|2+|ОАу|2+|ОАz|2. |а|2= |ха|2+|уа|2+|za|2. |а|= √|ха|2+|уа|2+|za|2
2) Направление вектора в пространстве. Оно задано, если известны ∟α,β,γ, которые вектор составляет с системой координат. cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы вектора а. Т1 о проекции вектора на ось: ха=|а|cosα→ cosα= ха/|а|, cosβ= уа/|а|, cosγ= zа/|а|. Для направляющего косинуса выполняется тождество: cosα+cosβ+cosγ=1.
2. Экстремум функции. Теорема о достаточных условиях.
Пусть ф-ия f(x) определена в области Х, х0-внутренняя точка этой области.
Опр1: х0-точка максимума f(x), если сущ-ет U(х0) такая, что f(x)<f(х0), для любого х U(х0).
Опр2: х0-точка минимума f(x), если сущ-ет U(х0) такая, что f(x)>f(х0) , для любого х U(х0).
Если ф-я имеет максимум или минимум в данной точке, то говорят, что она имеет экстремум в данной точке.
Т.о достаточных условиях:
Пусть х0-кр.точка ф-ии f(x).1)Сущ-ет U(х0): сущ-ет f’(x), xЄU(х0), кроме может быть т.х0.2)ф-ия непрерывна в т.х0. Тогда если в пределах U(х0): 1. f’(x)<0 при х< х0; f’(x)>0 при х>х0, то х0-min. 2. f’(x)>0 при х< х0; f’(x)<0 при х>х0, то х0-max.
Док-во:
Пусть выполняется 1). Надо док-ть, что f(x)> f(х0) для любых хЄ U(х0). Возьмем х< х0. На [х;х0] для ф-ии f(x) выполняется условие т.Лагранжа. f(х0)- f(x)=f’(c)(х0-x), x<c<х0. f(х0)- f(x)<0 или f(х0)<f(x).
Для х>х0: f(x)-f(х0)= f’(c)(х- х0); f(x)-f(х0)>0, f(x)>f(х0)
Замечание: если f’(x) имеет один и тот же знак слева и справа, то экстремума в т. х0 нет.
Билет №12.