Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
билеты по математике 2012.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
200.7 Кб
Скачать

2.Теорема Лагранжа.

Пусть ф-ия f(x) определена на отрезке [a,b].

  1. f(x) непрерывна на [a,b].

  2. Сущ-ет f’(x) xЄ[0;1]. Тогда найдется точка на интервале (a,b), такая, что f’(c)=f(b)-f(a)/b-a

Док-во:

Рассмотрим ф-ию F(x)=f(x)-kx – некоторое число. Выберем его так, чтобы для ф-ии F(x) на [a,b] выполнялись все условия т.Ролля.

  1. F(x) непрерывна на [a,b] как разность 2ух непрерывных ф-ий.

  2. F’(x)=f’(x)-k для любых хЄ(a,b)

  3. выберем число k так, чтобы выполнялось условие F(a)=F(b) или f(a)-ka=f(b)-kb, откуда k=f(b)-f(a)/b-a. По т.Ролля сущ-ет точка с на интервале (a,b), такая что F’(c)=f’(c)-k=0 или f’(c)=k= f(b)-f(a)/b-a.

Билет №11.

1. Координаты вектора, координаты точки. Длина и направление вектора.

Ось, на которой выбрано начало отсчета т.О и единица длины называется координатной осью или числовой осью. Каждой точке на этой оси соответствует единственное действительное число и обратно: каждому единственному числу соответствует единственная точка. 3 взаимоперпендикулярные прямые(ох, оу, oz – абсцисс, ординат, аппликат). Вектор а, AxAyAz, пр.А на ох,оу,oz. (прха=велОАха, пр.уа=велОАуа, пр.za=велОАz=za)

Проекции вектора на оси прямоугольной системы координат числа ха, уа, za называются декартовыми прямоугольными координатами вектора.

Т.Если известны координаты вектора, то он полностью определен, т.е. можно установить его длину и направление в пространстве.

Док-во:

1) Установление формулы для вычисления длины вектора. Квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон. ‌‌‌‌‌‌|ОА|2=‌‌‌ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|ОАх|2+|ОАу|2+|ОАz|2. ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|а|2=‌‌‌ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌|ха|2+|уа|2+|za|2. |а|=‌‌‌ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌√|ха|2+|уа|2+|za|2

2) Направление вектора в пространстве. Оно задано, если известны ∟α,β,γ, которые вектор составляет с системой координат. cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы вектора а. Т1 о проекции вектора на ось: ха=|а|cosα→ cosα= ха/|а|, cosβ= уа/|а|, cosγ= zа/|а|. Для направляющего косинуса выполняется тождество: cosα+cosβ+cosγ=1.

2. Экстремум функции. Теорема о достаточных условиях.

Пусть ф-ия f(x) определена в области Х, х0-внутренняя точка этой области.

Опр1: х0-точка максимума f(x), если сущ-ет U(х0) такая, что f(x)<f(х0), для любого х U(х0).

Опр2: х0-точка минимума f(x), если сущ-ет U(х0) такая, что f(x)>f(х0) , для любого х U(х0).

Если ф-я имеет максимум или минимум в данной точке, то говорят, что она имеет экстремум в данной точке.

Т.о достаточных условиях:

Пусть х0-кр.точка ф-ии f(x).1)Сущ-ет U(х0): сущ-ет f’(x), xЄU(х0), кроме может быть т.х0.2)ф-ия непрерывна в т.х0. Тогда если в пределах U(х0): 1. f’(x)<0 при х< х0; f’(x)>0 при х>х0, то х0-min. 2. f’(x)>0 при х< х0; f’(x)<0 при х>х0, то х0-max.

Док-во:

Пусть выполняется 1). Надо док-ть, что f(x)> f(х0) для любых хЄ U(х0). Возьмем х< х0. На [х;х0] для ф-ии f(x) выполняется условие т.Лагранжа. f(х0)- f(x)=f’(c)(х0-x), x<c<х0. f(х0)- f(x)<0 или f(х0)<f(x).

Для х>х0: f(x)-f(х0)= f’(c)(х- х0); f(x)-f(х0)>0, f(x)>f(х0)

Замечание: если f’(x) имеет один и тот же знак слева и справа, то экстремума в т. х0 нет.

Билет №12.