1. Теорема о разложении вектора по ортонормированному базису.

Т.Каждый вектор а может быть единственным образом разложен по векторам ортонормированного базиса, коэффициенты разложения – есть координаты этого вектора а.

ОМ=ОМ_х+М_хР+РМ, по определению операции сложения нескольких векторов.

М_хР=ОМ_у, РМ=ОМ_z, a=OM=OM_x+OM_y+OM_z. OM_x=λi (*) по определению операции умножения вектора на число(т.к. коллинеарны, то сущ.λ)

1)|OM_x|=|λ|*|i|=|λ|

2)λ>0, если OM_x направлен так же как и вектор i (положительное направление оси ох)

λ<0, если OM_x направлен противоположно вектору i.

Из 1 и 2 → λ- есть число равное по модулю OM_x со знаком «+», если направления совпадают, со знаком «-», если направления противоположны.

λ=вел.OM_x=пр._ха=х_а

Из равенства (*):OM_x= х_а*i

Аналогично: OM_y=у_а*j; OM_z=z_a*k

a= х_а*i+ у_а*j+ z_a*k (**)

(**) – разложение вектора по ортонормированному базису.

2.Второй замечательный предел.

lim_x→∞(1+1/x)^x=e

Билет №9.

1. Прямая линия в пространстве. Теорема об ее задании.

Прямая линия в пространстве определена, если известна т.М₀(x₀,y₀,z₀)Єпрямой и её направляющий вектор U={α,β,γ}.

Док-во:

т.М(x,y,z)Єm →ММ₀ коллинеарен U. Сущ-ет число t такое, что ММ₀=tU (параметрическое ур-е прямой векторной форме).

ММ₀={x-x₀,y-y₀,z-z₀}: x=x₀+αt, y=y₀+βt, z=z₀+γt (параметрическое ур-е в координатной форме).

Исключим параметр t: x-x₀/α=y-y₀/β=z-z₀/γ (каноническое ур-е прямой в пространстве).

Прямую можно задавать в общей форме.

2.Свойства предела функции.

1)Единственность предела функции

2) Если функция имеет предел при x→a, то существует U(a), в которой функция ограничена.

3)Устойчивость знаков.

4)Переход к пределу в неравенствах.

5)Предел функции, заключённый между двумя функциями, имеющими предел.

Пусть в окрестности точки х=а заданы три функции, для которых выполняются неравенства: f(x)≤h(x)≤g(x) (1). Известно, что существует lim_x→af(x)= lim_x→ag(x)=A. Тогда lim_x→ah(x)=A.

Док-во: Из нер-ва (1) следует: f(x)-A≤h(x)-A≤g(x)-A. Возьмем любое ε>0 и зафиксируем.

lim_x→af(x)=А ↔ по ε>0 сущ-ет U_δ1(a) ĀxЄ U_δ2(a)-a. |f(x)-A|<ε

lim_x→af(x)=А ↔ по ε>0 сущ-ет U_δ2(a) ĀxЄ U_δ2(a)-a. |g(x)-A|<ε

Рассмотрим U_δ= U_δ1(a)∩ U_δ2(a). ĀxЄ U_δ(a) выполняются неравенства:

-ε<f(x)-A<ε, -ε<g(x)-A<ε, -ε<f(x)-A≤h(x)-A≤g(x)-A<ε. Для всех ε>0 мы нашли U_δ(a) ĀxЄ U_δ(a) |h(x)-A|<ε. Это означает, что lim_x→ah(x)=A.

Билет №10.

1. Производная. Геометрический смысл. Теорема о связи между сущ-ем конечной производной и непрерывностью.

Пусть ф-ия у=f(x) определена в U(x₀). Дадим аргументу приращение ∆х и рассмотрим значение х=x₀+∆х. При этом ф-ия получит приращение ∆у= f(x)- f(x₀)= f(x₀+∆х)- f(x₀). Если сущ-ет конечный lim_∆х→0∆у/∆х, то этот предел называется производной от ф-ии f(x) в точке x₀.

Производная в данной точке есть число. Если производная сущ-ет в каждой точке промежутка, то она является ф-ей от х, заданной на этом промежутке. При этом говорят, что ф-ия дифференцируема на этом промежутке. Операция отыскания производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл. Производная от ф-ии в данной точке f’(x₀) равна угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии у=f(x) в точке М₀(x₀, f(x₀)).

Т. Если ф-ия f(x) имеет конечную производную в точке x₀, то она непрерывна в точке x₀.

Док-во:

По условию т.сущ-ет f’(x₀)= lim_∆х→0∆у/∆х. По т.1 о б.м.ф. ∆у/∆х= f’(x₀)+α(∆х), где α(∆х)→0 при ∆х→0. Тогда ∆у= f’(x₀)∆х+ α(∆х)∆х отсюда следует: если ∆х→0, то ∆у→0, т.е. ф-ия непрерывна в точке x₀.