
- •Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •2.Теорема о производной сложной функции.
- •1. Векторное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •1. Различные формы ур-я прямой на плоскости.
- •2. Теорема Коши.
- •1. Расстояние от точки до прямой.
- •1. Угол от одной прямой до другой на плоскости.
- •2.Теорема Ролля.
- •1.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •2. Теорема Ферма.
- •Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.
- •1. Теорема о разложении вектора по ортонормированному базису.
- •1. Прямая линия в пространстве. Теорема об ее задании.
- •2.Свойства предела функции.
- •1. Производная. Геометрический смысл. Теорема о связи между сущ-ем конечной производной и непрерывностью.
- •2.Теорема Лагранжа.
- •1. Координаты вектора, координаты точки. Длина и направление вектора.
- •2. Экстремум функции. Теорема о достаточных условиях.
- •1. Расстояние от точки до прямой.
- •2.Теорема о производной сложной функции.
- •1. Угол от одной прямой до другой на плоскости.
- •1. Прямая линия в пространстве. Канонические и параметрические уравнения. Общие уравнения прямой.
- •1.Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.
- •2. Теорема Коши.
- •1.Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.
- •2. Экстремум функции. Теорема о необходимых условиях.
- •1. Векторы. Основные определения. Проекция вектора на ось. Теорема о проекции на ось.
- •2. Правила нахождения производной. Теорема о производной произведения.
- •1. Координаты вектора, координаты точки. Длина и направление вектора.
- •1.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •1. Прямая линия в пространстве. Теорема об ее задании.
- •1. Теорема о разложении вектора по ортонормированному базису.
- •1. Расстояние от точки до прямой.
1. Теорема о разложении вектора по ортонормированному базису.
Т.Каждый вектор а может быть единственным образом разложен по векторам ортонормированного базиса, коэффициенты разложения – есть координаты этого вектора а.
ОМ=ОМх+МхР+РМ, по определению операции сложения нескольких векторов.
МхР=ОМу, РМ=ОМz, a=OM=OMx+OMy+OMz. OMx=λi (*) по определению операции умножения вектора на число(т.к. коллинеарны, то сущ.λ)
1)|OMx|=|λ|*|i|=|λ|
2)λ>0, если OMx направлен так же как и вектор i (положительное направление оси ох)
λ<0, если OMx направлен противоположно вектору i.
Из 1 и 2 → λ- есть число равное по модулю OMx со знаком «+», если направления совпадают, со знаком «-», если направления противоположны.
λ=вел.OMx=пр.ха=ха
Из равенства (*):OMx= ха*i
Аналогично: OMy=уа*j; OMz=za*k
a= ха*i+ уа*j+ za*k (**)
(**) – разложение вектора по ортонормированному базису.
2.Второй замечательный предел.
limx→∞(1+1/x)x=e
Билет №9.
1. Прямая линия в пространстве. Теорема об ее задании.
Прямая линия в пространстве определена, если известна т.М0(x0,y0,z0)Єпрямой и её направляющий вектор U={α,β,γ}.
Док-во:
т.М(x,y,z)Єm →ММ0 коллинеарен U. Сущ-ет число t такое, что ММ0=tU (параметрическое ур-е прямой векторной форме).
ММ0={x-x0,y-y0,z-z0}: x=x0+αt, y=y0+βt, z=z0+γt (параметрическое ур-е в координатной форме).
Исключим параметр t: x-x0/α=y-y0/β=z-z0/γ (каноническое ур-е прямой в пространстве).
Прямую можно задавать в общей форме.
2.Свойства предела функции.
1)Единственность предела функции
2) Если функция имеет предел при x→a, то существует U(a), в которой функция ограничена.
3)Устойчивость знаков.
4)Переход к пределу в неравенствах.
5)Предел функции, заключённый между двумя функциями, имеющими предел.
Пусть в окрестности точки х=а заданы три функции, для которых выполняются неравенства: f(x)≤h(x)≤g(x) (1). Известно, что существует limx→af(x)= limx→ag(x)=A. Тогда limx→ah(x)=A.
Док-во: Из нер-ва (1) следует: f(x)-A≤h(x)-A≤g(x)-A. Возьмем любое ε>0 и зафиксируем.
limx→af(x)=А ↔ по ε>0 сущ-ет Uδ1(a) ĀxЄ Uδ2(a)-a. |f(x)-A|<ε
limx→af(x)=А ↔ по ε>0 сущ-ет Uδ2(a) ĀxЄ Uδ2(a)-a. |g(x)-A|<ε
Рассмотрим Uδ= Uδ1(a)∩ Uδ2(a). ĀxЄ Uδ(a) выполняются неравенства:
-ε<f(x)-A<ε, -ε<g(x)-A<ε, -ε<f(x)-A≤h(x)-A≤g(x)-A<ε. Для всех ε>0 мы нашли Uδ(a) ĀxЄ Uδ(a) |h(x)-A|<ε. Это означает, что limx→ah(x)=A.
Билет №10.
1. Производная. Геометрический смысл. Теорема о связи между сущ-ем конечной производной и непрерывностью.
Пусть ф-ия у=f(x) определена в U(x0). Дадим аргументу приращение ∆х и рассмотрим значение х=x0+∆х. При этом ф-ия получит приращение ∆у= f(x)- f(x0)= f(x0+∆х)- f(x0). Если сущ-ет конечный lim∆х→0∆у/∆х, то этот предел называется производной от ф-ии f(x) в точке x0.
Производная в данной точке есть число. Если производная сущ-ет в каждой точке промежутка, то она является ф-ей от х, заданной на этом промежутке. При этом говорят, что ф-ия дифференцируема на этом промежутке. Операция отыскания производной называется дифференцированием.
Геометрический смысл. Производная от ф-ии в данной точке f’(x0) равна угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии у=f(x) в точке М0(x0, f(x0)).
Т. Если ф-ия f(x) имеет конечную производную в точке x0, то она непрерывна в точке x0.
Док-во:
По условию т.сущ-ет f’(x0)= lim∆х→0∆у/∆х. По т.1 о б.м.ф. ∆у/∆х= f’(x0)+α(∆х), где α(∆х)→0 при ∆х→0. Тогда ∆у= f’(x0)∆х+ α(∆х)∆х отсюда следует: если ∆х→0, то ∆у→0, т.е. ф-ия непрерывна в точке x0.