1. Угол от одной прямой до другой на плоскости.

y=k₁x+α₁ (1) y=k₂x+α₂ (2). Углом от одной прямой(1) до прямой (2) называется угол α₁₂, на которой нужно повернуть прямую (1) против часовой стрелки до совмещения с прямой (2).

α₁₂=0, tg α₁₂=0↔ k₁=k₂ – прямые параллельны.

α₁₂=π/2, tg π/2 – не сущ-ет→ k₁=-1/k₂- прямые перпендикулярны.

2.Теорема Ролля.

Пусть ф-ия определена на отрезке [a,b].1) f(x) непрерывна на [a,b].2) Сущ-ет f’(x₀) для любых хЄ(a,b).3)f(a)=f(b)

Тогда найдется т.c на интервале (a,b), такая, что f’(c)=0.

Док-во:

В силу условия 1) теоремы, сущ-ет точка х₀Є[a,b], в которой ф-ия принимает наибольшее значение М и сущ-ет точка х₁Є[a,b], в которой ф-ия принимает наименьшее значение m(2 т.Вейерштрасса),т.е. m=f(x₁)≤f(x)≤f(x₀)=M (*). Возможны 2 случая:

1) M=m. M=m≤f(x)≤M=m. Сущ-ет хЄ(a,b), f’(x)=0

2) m<M. Хотя бы одна из точек х₀ или х₁ – внутренняя точка [a,b].От противного: обе точки – концы отрезка. х₀=а, х₁=b → f(a)=f(b) по 3)условию теоремы. Это противоречит m<M.

Пусть х₀ лежит на (a,b). Тогда выполняется т.Ферма. В т. х₀ f(x)=M наиб.значение.

Сущ-ет f’(х₀), то т.Ферма: f’(х₀)=0.

Замечание: три условия теоремы существенны.

Билет №6.

1.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.

Скалярным произведением векторов а и b аb называется число длин этих векторов на косинус угла между ними. аb=|а||b|cosφ=|b|пр_ba=|a|пр_аb.

Свойства операции:

1)переместительное(коммутативное) ab=ba ←из определения.

2)сочетательное(ассоциативное) λ(ab)=λa+λb

3)распределительное(дистрибутивное) a(b+c)=ab+ac

4)для того, чтобы a и b были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы ab=0

Выражение скалярного произведения через координаты векторов: заданы векторы своими координатами, запишем их разложение по ортонормированному базису: а=x_ai+y_aj+z_ak, b=x_bi+y_bj+z_bk. ab=(x_ai+y_aj+z_ak)(x_bi+y_bj+z_bk)= *

свойство скалярного произведения позволяет умножать скалярно векторные многочлены так же как многочлены в обычной алгебре

*=x_ax_bii+x_ay_bij+x_az_bik+y_ax_bji+y_ay_bjj+y_az_bjk+z_ax_bki+z_ay_bkj+z_az_bkk=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b

2. Теорема Ферма.

Пусть ф-ия y=f(x) определена на (a,b). Существует точка х₀Є(a,b), в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение, существует конечная f’(x₀). Тогда f’(x₀)=0.

Док-во:

1. f(x₀)≥ f(x) для любых хЄ(a,b). Тогда при любом ∆х><0, ∆у≤0.

2. ∆х>0, ∆у/∆х≤0. f’₊(x₀)=lim_∆х→0∆у/∆х≤0

3. ∆х<0, ∆у/∆х≥0. f’_-(x₀)=lim_∆х→0∆у/∆х≥0

По условию сущ-ет f’(x₀) ↔ сущ-ет f’₊(x₀)=сущ-ет f’_-(x₀)

f’(x₀)=0.

Билет №7.

1. Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.

Пусть дана прямоугольная система координат.

Т1. Каждая плоскость есть множество точек, которые являются решением некоторого алгебраического уравнения I степени.

Т2. Всякое алгебраическое уравнение I степени определяет плоскость в некоторой прямоугольной системе координат.

Док-во:

Т1. 1)Пусть задана прямоугольная система координат и некоторая плоскость π. Возьмём любую т.M₀(x₀,y₀,z₀) принадлежит π. Обозначим нулевой вектор n={A,B,C} и пусть т.М(x,y,z) – это любая точка плоскости.

т.М(x,y,z)Єπ ↔ M₀M┴n ↔ n* M₀M=0 ↔ (1) A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Ax+By+Cz+D=0 (2)

D=-Ax₀-By₀-Cz₀

Т.о. каждая точка плоскости π является решением у-я (2), т.е. у-е (2)-есть ур-е плоскости π.

Замечания: 1) Всякий ненулевой вектор n┴π будем называть нормальным вектором этой плоскости. 2) Ур-е (2) – общее Ур-е плоскости. Коэффициенты А,В,С этого ур-я - есть координаты нормального вектора плоскости. 3) Ур-е (1) есть у-е плоскости, которое проходит через заданную т. M₀(x₀,y₀,z₀) и имеет нормальный вектор n={A,B,C}.

Т2. 1) Пусть Ax+By+Cz+D=0 (хотя бы один из коэфф., А,В,С≠0)

Дано произвольное алгебраическое у-е I степени. Пусть т.M₀(x₀,y₀,z₀) – решение у-я (2)(Всегда существует решение у-я (2)): Ax₀+By₀+Cz₀+D=0 (3). Вычтем из равенства (2) равенство (3):

(4) A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 – это у-е определяет плоскость, проходящую через т.M₀ и имеет норм.вектор n={A,B,C}.

Т.к. у-е (2) и (4) равносильны, то у-е (2) определяет ту же плоскость.

2. Числовые последовательности.

Если каждому натуральному числу n ставится в соответствие по определенному закону действительное число х_n , то множество занумерованных действительных чисел х₁,х₂,…,х_n называют числовой последовательностью. Отдельные числа х_n – элементы последовательности. Если n≠m, то х_n и x_m разные элементы последовательности, хотя как числа они могут быть равны. Часто последовательность {x_n} задается формулой для ее общего члена х_n.

Монотонные последовательности: последовательность называется

• Возрастающей, если каждый ее член больше предшествующего, т.е. х₁< х₂<_…< х_n

• Убывающей, если каждый ее член меньше предшествующего, т.е. х₁> х₂>_…> х_n

• Неубывающей, если х₁≤ х₂≤_…≤х_n

• Невозрастающей, если х₁≥х₂≥_…≥ х_n

Убывающие и возрастающие последовательности называются строго монотонными.

Ограниченные последовательности:

• Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху, если сущ-ет число М такое, что х_n≤М для любых n.

• Последовательность {x_n} называется ограниченной снизу, если сущ-ет число М такое, что х_n≥М для любых n.

• Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Предел числовой последовательности. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного числа ε можно указать такой номер N, что при n>N все элементы х_n этой последовательности удовлетворяют неравенству | х_n - а |<ε

Билет №8.