- •Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •2.Теорема о производной сложной функции.
- •1. Векторное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •1. Различные формы ур-я прямой на плоскости.
- •2. Теорема Коши.
- •1. Расстояние от точки до прямой.
- •1. Угол от одной прямой до другой на плоскости.
- •2.Теорема Ролля.
- •1.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •2. Теорема Ферма.
- •Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.
- •1. Теорема о разложении вектора по ортонормированному базису.
- •1. Прямая линия в пространстве. Теорема об ее задании.
- •2.Свойства предела функции.
- •1. Производная. Геометрический смысл. Теорема о связи между сущ-ем конечной производной и непрерывностью.
- •2.Теорема Лагранжа.
- •1. Координаты вектора, координаты точки. Длина и направление вектора.
- •2. Экстремум функции. Теорема о достаточных условиях.
- •1. Расстояние от точки до прямой.
- •2.Теорема о производной сложной функции.
- •1. Угол от одной прямой до другой на плоскости.
- •1. Прямая линия в пространстве. Канонические и параметрические уравнения. Общие уравнения прямой.
- •1.Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.
- •2. Теорема Коши.
- •1.Основная теорема о плоскости. Прямая и обратная.
- •2. Экстремум функции. Теорема о необходимых условиях.
- •1. Векторы. Основные определения. Проекция вектора на ось. Теорема о проекции на ось.
- •2. Правила нахождения производной. Теорема о производной произведения.
- •1. Координаты вектора, координаты точки. Длина и направление вектора.
- •1.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.
- •1. Прямая линия в пространстве. Теорема об ее задании.
- •1. Теорема о разложении вектора по ортонормированному базису.
- •1. Расстояние от точки до прямой.
1. Теорема о разложении вектора по ортонормированному базису.
Т.Каждый вектор а может быть единственным образом разложен по векторам ортонормированного базиса, коэффициенты разложения – есть координаты этого вектора а.
ОМ=ОМх+МхР+РМ, по определению операции сложения нескольких векторов.
МхР=ОМу, РМ=ОМz, a=OM=OMx+OMy+OMz. OMx=λi (*) по определению операции умножения вектора на число(т.к. коллинеарны, то сущ.λ)
1)|OMx|=|λ|*|i|=|λ|
2)λ>0, если OMx направлен так же как и вектор i (положительное направление оси ох)
λ<0, если OMx направлен противоположно вектору i.
Из 1 и 2 → λ- есть число равное по модулю OMx со знаком «+», если направления совпадают, со знаком «-», если направления противоположны.
λ=вел.OMx=пр.ха=ха
Из равенства (*):OMx= ха*i
Аналогично: OMy=уа*j; OMz=za*k
a= ха*i+ уа*j+ za*k (**)
(**) – разложение вектора по ортонормированному базису.
Билет №25.
1. Расстояние от точки до прямой.
Расстоянием от точки, не лежащей на прямой, до этой прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. ρ – расстояние. ρ(M0;m)=|M0N|
Т: Пусть прямая m задана уравнением: Ах+Ву+C=0
Задана М0(x0;y0) не принадлежащая m. Тогда ρ(M0;m)=|Ax0+By0+C|/√A2+B2
Док-во:
Рассмотрим n={A;B}≠θ. Утверждение: n┴(m) ↔ n┴U={-B;A};
nU=A(-B)+BA=0
вектор n – нормальный вектор пр.m. Из M0 проведём прямую l┴m, тогда n будет находиться на l. Возьмем любую т.М(х,у)Єm
ρ(M0;m) определение= |M0N|=|пр.nM0N|=|M0M*n|/|n|
M0M={x-x0;y-y0}
|А(х-x0)+В(у-y0)|/√A2+B2=|(Ах+Ву+C)-(Ах0+Ву0+C)|/√A2+B2=|Ах0+Ву0+C|/√A2+B2
2.
Т. Если ф-ия f(x) имеет конечную производную в точке x0, то она непрерывна в точке x0.
Док-во:
По условию т.сущ-ет f’(x0)= lim∆х→0∆у/∆х. По т.1 о б.м.ф. ∆у/∆х= f’(x0)+α(∆х), где α(∆х)→0 при ∆х→0. Тогда ∆у= f’(x0)∆х+ α(∆х)∆х отсюда следует: если ∆х→0, то ∆у→0, т.е. ф-ия непрерывна в точке x0.