1.Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.

Скалярным произведением векторов а и b аb называется число длин этих векторов на косинус угла между ними. аb=|а||b|cosφ=|b|пр_ba=|a|пр_аb.

Свойства операции:

1)переместительное(коммутативное) ab=ba ←из определения.

2)сочетательное(ассоциативное) λ(ab)=λa+λb

3)распределительное(дистрибутивное) a(b+c)=ab+ac

4)для того, чтобы a и b были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы ab=0

Выражение скалярного произведения через координаты векторов: заданы векторы своими координатами, запишем их разложение по ортонормированному базису: а=x_ai+y_aj+z_ak, b=x_bi+y_bj+z_bk. ab=(x_ai+y_aj+z_ak)(x_bi+y_bj+z_bk)= *

свойство скалярного произведения позволяет умножать скалярно векторные многочлены так же как многочлены в обычной алгебре

*=x_ax_bii+x_ay_bij+x_az_bik+y_ax_bji+y_ay_bjj+y_az_bjk+z_ax_bki+z_ay_bkj+z_az_bkk=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b

2.Дифференциируемость функции. Определение. Необходимое и достаточное условие (доказать).

Пусть ф-ия y=f(x) определена в U(x₀). Дадим аргументу приращение ∆х и рассмотрим приращение ф-ии ∆у= f(x+∆х)- f(x₀). Опр1.Ф-ия f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если приращение ф-ии ∆у в точке х₀ может быть представлено в виде ∆у=А∆х+о(∆х) (1), где А-некоторое число, не зависящее от х. Из (1): ∆у- А∆х= о(∆х) →по т.о б.м.ф. ∆у~А∆х при ∆х→0.

Если из суммы б.м.разных порядков отбросить б.м.высших порядков, то оставшаяся часть, эквивалентная всей сумме, называется главной частью→ А∆х для ∆у главная часть, если А≠0.Опр2.Главная часть приращения функции А∆х, линейная относительно ∆у, называется дифференциалом ф-ии f(x) в точке x₀ и обозначается dy. По опр.полагают, что дифференциал независимой переменной dx=∆х, тогда dy=Adx.

Т.Ф-ия f(x) дифференцируема в точке x₀ тогда и только тогда, когда сущ-ет ее конечная производная в этой точке f’(x₀).

Док-во:

Необходимость. Пусть ф-ия f(x) дифференцируема в точке x₀, т.е. ∆у=А∆х+о(∆х). Тогда ∆у/∆х=А+ о(∆х)/ ∆х при ∆х→0 о(∆х)/ ∆х→0. Поэтому сущ-ет lim_∆х→0∆у/∆х= f’(x₀)=A.

Достаточность. Пусть сущ-ет f’(x₀)= lim_∆х→0∆у/∆х. По т1 о б.м.ф. ∆у/∆х= f’(x₀)-α(∆х), где α(∆х)→0, при ∆х→0. Отсюда ∆у= f’(x₀) ∆х+ α(∆х) ∆х.

Обозначим через А не зависящее от ∆х число f’(x₀). Получим ∆у=А∆х+о(∆х), а это значит, что ф-ия f(x) дифференцируема в точке x_0.

Замечания:1.Доказанная т.позволяет отождествлять для ф-ии одной переменной сущ-ие конечной производной в данной точке с дифференцируемостью ф-ии в этой точке.2.Т.к. А= f’(x₀), то дифференциал ф-и в данной точке при данном ∆х находится по формуле dy= f’(x₀)dx.

Билет №23.

1. Прямая линия в пространстве. Теорема об ее задании.

Прямая линия в пространстве определена, если известна т.М₀(x₀,y₀,z₀)Єпрямой и её направляющий вектор U={α,β,γ}.

Док-во:

т.М(x,y,z)Єm →ММ₀ коллинеарен U. Сущ-ет число t такое, что ММ₀=tU (параметрическое ур-е прямой векторной форме).

ММ₀={x-x₀,y-y₀,z-z₀}: x=x₀+αt, y=y₀+βt, z=z₀+γt (параметрическое ур-е в координатной форме).

Исключим параметр t: x-x₀/α=y-y₀/β=z-z₀/γ (каноническое ур-е прямой в пространстве).

Прямую можно задавать в общей форме.

2.1)(U(x)±V(x))=U’(x)±V’(x)

Даём ∆х, тогда у= U(x)±V(x)

∆у=(U(x+∆х)±V(x±∆х))-(U(x)±V(x))

∆у=[U(x+∆х)-U(x)]±[V(x±∆х)-V(x)]

∆у/∆х=∆U±∆V/∆x=∆U/∆x±∆V/∆x

lim_∆x→0(∆U/∆x±∆V/∆x) по условию сущ-ет предел: lim_∆x→0∆U/∆x=U’(x) и lim_∆x→0∆V/∆x=V’(x).

2)[U(x)*V(x)]=U’V+UV’

Даём ∆х. Найдём ∆у:

∆у=U(x+∆х)V(x+∆х)-U(x)V(x)=[ U(x+∆х)V(x+∆х)- U(x+∆х)V(x)]-[U(x)V(x)- U(x+∆х)V(x)]=U(x+∆х)[V(x+∆х)-V(x)]+V(x)[-U(x)+ U(x+∆х)]= U(x+∆х)∆V+V(x)∆U

∆у/∆х= U(x+∆х) ∆V/∆U+V(x) ∆U/∆х, ∆х→0

т.к. сущ-ет U’(x) следовательно ф-я U(x)- непрерывна в точке х, поэтому, если ∆х→0, то U(x+∆х)→ ∆х

lim_∆х→0∆у/∆х=U(x)V’(x)+V(x)U’(x)

3)Если V(x)≠0, то (U/V)=U’V-UV’/V²

Билет №24.