Билет №1.

1. Скалярное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.

Скалярным произведением векторов а и b аb называется число длин этих векторов на косинус угла между ними. аb=|а||b|cosφ=|b|пр_ba=|a|пр_аb.

Свойства операции:

1)переместительное(коммутативное) ab=ba ←из определения.

2)сочетательное(ассоциативное) λ(ab)=λa+λb

3)распределительное(дистрибутивное) a(b+c)=ab+ac

4)для того, чтобы a и b были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы ab=0

Выражение скалярного произведения через координаты векторов: заданы векторы своими координатами, запишем их разложение по ортонормированному базису: а=x_ai+y_aj+z_ak, b=x_bi+y_bj+z_bk. ab=(x_ai+y_aj+z_ak)(x_bi+y_bj+z_bk)= *

свойство скалярного произведения позволяет умножать скалярно векторные многочлены так же как многочлены в обычной алгебре

*=x_ax_bii+x_ay_bij+x_az_bik+y_ax_bji+y_ay_bjj+y_az_bjk+z_ax_bki+z_ay_bkj+z_az_bkk=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b

2.Теорема о производной сложной функции.

Пусть ф-ия у=F(U) имеет производную в точке U₀ – F’(U₀), а ф-ия U=φ(x) имеет производную в точке х₀ – φ’(х₀) и U₀= φ(х₀).

Тогда существует производная сложной ф-ии: F’(U)|_x=x0=F’[φ(x)]=F’(U₀) φ’(х₀)

Док-во:

y=F[φ(x)] U= φ(x)

Даем Δх и получаем Δу,ΔU.

Δу/Δх= Δу/ΔU* ΔU/Δх (1)

Замечание: когда мы даем Δх, то может случиться, что ΔU=0, тогда Δу/ΔU – не определено и равенство (1) теряет смысл.

Δу/ΔU – ф-я от ΔU и при ΔU=0, ф-я имеет устранимый разрыв:

т.к. существует lim_ΔU→0 Δу/ΔU= F’(U₀), при ΔU=0 Δу/ΔU= F’(U₀) следовательно формула (1) имеет смысл при всех ΔU.

lim_Δх→0 Δу/Δх= lim_Δх→0 Δу/ΔU* ΔU/Δх= F’(U₀)* φ’(х₀)

Билет №2.

1. Векторное произведение векторов. Определение. Свойства. Выражение в координатах.

Векторным произведением ахb называется вектор с, который определяется следующими условиями: 1) |с|=|ахb|=|а||b|sinφ, где φ=(a^b); 2) вектор с лежит на линии, перпендикулярной плоскости, определяемой векторами а и b; 3) если векторы а,b,с приложены к одному началу, то вектор с направлен так, что кратчайший поворот а (первый сомножитель) к ветору b виден совершающимся против часовой стрелки. Замечание: |с|=|ахb|=S_OACB.

Свойства операции:

1)переместительный з-н не выполняется(антикоммутативность): ахb=-bxa

2)ассоциативное: λ(axb)=λaxb=axλb

3)распределительное(дистрибутивное): a(b+c)=axb+axc

4)векторное произведение axb=θ есть нулевой вектор тогда, когда векторы а и b коллинеарны.

Координаты ахb: а={x_a;y_a;z_a} b={x_b;y_b;z_b}. Каждый вектор разложим по ортонормированному базису: axb=(x_ai+y_aj+z_ak)x(x_bi+y_bj+z_bk)= *

Свойства операции векторного произведения позволяют умножать по алгебраическим з-нам

*=x_ax_bii+x_ay_bij+x_az_bik+y_ax_bji+y_ay_bjj+y_az_bjk+z_ax_bki+z_ay_bkj+z_az_bkk=(x_ay_b-y_ax_b)k-(x_az_b-x_bz_a)j+(y_az_b-y_bz_a)i=|ijk x_ay_az_a x_by_bz_b|

2. Предел функции. Определение на языке ε-δ и на геометрическом языке. Свойства предела функции (перечислить, доказать теорему о пределе функции, заключенной между двумя функциями). Пусть функция f(х) определена в U(a). В самой точке а функция может быть не определена. Число А называется пределом функции f(х) при х стремящемся к а (число), если для любого положительного числа ε найдется число б такое, что для всех х, отличающихся от а по абсолютной величине меньше, чем на б, соответствующие значения функции отличаются по абсолютной величине от А меньше, чем на ε.

На геометрическом языке: неравенство |х-а|<б определяет на оси Ох _б(а). Неравенство |f(х)-А|<ε определяет на оси Оу U Uε(A).

Свойства функции, имеющей предел:

• Если функция имеет предел при х→а, то существует U(a), в которой функция ограничена.

• Устойчивость знаков.

• Предел функции, заключенный между двумя функциями, имеющими предел.

• Переход к пределу в неравенствах.

• Единственность предела функции.

Билет №3.