Статистический критерий

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Эту величину обозначают через U или Z, если она распределена нормально, через F – если она распределена по закону Фишера – Снедекора, через T – по закону Стьюдента, – по закону «хи квадрат» и т.п.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину (обозначим ее через K), которая служит для проверки нулевой гипотезы. Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия K принимают отношение исправленных выборочных дисперсий .

Очевидно, что эта величина случайная, т.к. в различных опытах дисперсии принимают различные, заранее неизвестные значения.

Наблюдаемым значением критерия K_набл называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Например, если в вышеприведенном случае , то K_набл = 20/5 = 4.

Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Так как критерий K – одномерная случайная величина, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу и, соответственно, должны существовать точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы. Такие точки называются критическими точками.

Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где – положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где – отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами , где . В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами или равносильным неравенством . Различия между вариантами критических областей иллюстрирует следующий рисунок.

Рис. 1. Различные варианты критических областей a) правосторонняя, b) левосторонняя, с) двусторонняя

Резюмируя, сформулируем этапы проверки статистической гипотезы:

• Формулируется нулевая гипотеза ;

• Определяется критерий K, по значениям которого можно будет принять или отвергнуть и выбирается уровень значимости ;

• По уровню значимости определяется критическая область;

• По выборке вычисляется значение критерия K, определяется, принадлежит ли оно критической области и на основании этого принимается или .

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных случайных величин при известной дисперсии.

Обозначим через п и т объемы больших (n > 30, т > 30) неза-висимых_выборок, по которым найдены соответствующие выборочные средние х и у. Генеральные дисперсии D (X) и D (Y) известны.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н_о: М (Х) = М(У) о равенстве матема­тических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных гене­ральных совокупностей с известными дисперсиями (в случае больших выборок) при конкурирующей гипотезе Н₁: М (X) М (Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку из равенства

Если | Z_набл | < Z_табл — нулевая гипотеза принимается. Если | Z_набл | >Z_табл —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н₁ :М(Х)>М(У) находят критическую точку по таблице функции Лапласа из равенства

Если | Z_набл | < Z_табл — нулевая гипотеза принимается. Если | Z_набл | >Z_табл —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁ :М (X) < М (У) находят «вспомогательную точку» по правилу 2. Если | Z_набл | < Z_табл — нулевая гипотеза принимается. Если | Z_набл | >Z_табл — нулевую гипотезу отвергают.

Пример: По двум независимым выборкам, объемы которых п = 40 и т = 50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние: х=130 и y=140. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 80, D(Y)= 100. Требуется при уровне значимости 0,01 прове­рить нулевую гипотезу Н_о: М (X) = М (У) при конкури­рующей гипотезе H₁: М(Х) М(У).

Решение. Найдем наблюдаемое аначение критерия:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М(Х) М(У), поэтому критическая область—двусторонняя.

Найдем правую критическую точку из равенства

=(1 —а)/2=(1 —0,01 )/2=0,495.

По таблице функции Лапласа находим

=2,58.

Так как | Z_набл | >Z_табл, то в соответствии с правилом 1 нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выбороч­ные средние различаются значимо.

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных случайных величин при неизвестной дисперсии.

Обозначим через п и т объемы малых независимых выборок (n< 30, т < 30), по которым найдены соответствующие выборочные средние х и у и исправленные выборочные дисперсии D (X) и D (Y) . Гене­ральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинако­выми.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу Н_о: М (X) = М (У) о равенстве мате­матических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных сово­купностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе H₁: М(Х) М(У), надо вычислить наблюдаемое значение критерия и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по за­данному уровню значимости , и по числу степеней свободы k = n+m- 2 найти критическую точку t( ,k). Если | T_набл | < t( ,k) — нулевая гипотеза принимается. Если | T_набл | > t( ,k) —нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе М (X) > М (У) находят критическую точку t( ,k) по таблице приложения по уровню значимости , помещенному в нижней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n+m—2. Если | T_набл | < t( ,k) — нулевая гипотеза принимается. Если | T_набл | > t( ,k)— нулевую гипотезу отвергают.