Проверка статистических гипотез

Закон распределения определяет количественные характеристики генеральной совокупности.

Если закон распределения неизвестен, но есть основания предположить, что он имеет определенный вид (например, А), то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А. В этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.

Часто закон распределения известен, но неизвестны его параметры. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен определенному значению , то выдвигается гипотеза . То есть в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра известного распределения.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и т.д.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Примеры статистических гипотез: генеральная совокупность распределена по закону Пуассона; дисперсии двух нормальных распределений равны между собой.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .

Альтернативной (конкурирующей) называют гипотезу , которая противоречит нулевой. Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание нормального распределения равно 5, то альтернативная гипотеза, например, может состоять в предположении, что . Кратко это записывают так: .

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Например, если – параметр показательного распределения, то гипотеза – простая. Сложной называют гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, сложная гипотеза состоит из бесконечного множества простых гипотез вида , где – любое число, большее 3.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Так как проверку производят статистическими методами, то ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза. Следует отметить, что последствия ошибок могут оказаться различными. Если отвергнуто правильное решение «продолжать строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; если же принято неправильное решение «продолжать строительство» несмотря на опасность обвала дома, то эта ошибка второго рода может привести к многочисленным жертвам. Иногда, наоборот, ошибка первого рода влечет более тяжелые последствия.

Правильное решение может быть принято также в двух случаях, когда принимается правильная гипотеза или отвергается неверная гипотеза.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через ; ее называют уровнем значимости. Чаще всего, уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).