12.Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размера

.

(4.1)

Выделим в ней несколько миноров.

Определение 3.1. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Определение 3.2. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 4.4. Найти ранг матрицы:

(4.2)

Определитель матрицы (3.2) равен нулю. Все миноры 3-го порядка равны нулю, например:

Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля:

Значит, .

13.Свойства ранга матрицы

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется: .

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не меняется при умножении какой-либо строки (или столбца) на число, не равное нулю.

4. Ранг матрицы не меняется при перестановке местами строк (или столбцов) этой матрицы.

5. Ранг матрицы не меняется, если к какой-либо строке (или столбцу) прибавить другую строку (или столбец), умноженную на число.

Использование этих свойств позволяет в ряде случаев упростить вычисления ранга.

Пример 4.5. Найти ранг матрицы:

(4.3)

Определитель матрицы (4.3) равен нулю, поскольку матрица имеет пропорциональные строки, например, первую и третью. Значит ранг матрицы (4.3) будет меньше 4. Выполним некоторые элементарные преобразования: к третьей строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на , к четвертой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2. Получим:

Полученная матрица, очевидно, имеет ранг 2. Итак, .

14.Метод окаймления

При вычислении ранга можно использовать метод окаймления, состоящий в следующем. Пусть матрица имеет ненулевой минор порядка .Тогда можно рассматривать только миноры порядка , которые содержат упомянутый ненулевой минор порядка . Если все миноры большего порядка равны нулю, то .

Пример 4.6. Найти ранг матрицы, используя метод окаймления:

(4.4)

Эта матрица имеет ненулевой минор

Теперь достаточно рассмотреть не все миноры третьего порядка, а только миноры, которые содержат указанный ненулевой минор второго порядка:

Итак, .

15.Система линейных уравнений

Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

(5.1)

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.

Две совместные системы уравнений называются равносильными, если решение первой системы является решением второй и наоборот.

С помощью теорем линейной алгебры можно доказать, что следующие преобразования, которые принято называть элементарными, приводят к равносильным системам:

• перемена местами двух любых уравнений;

• умножение обеих частей уравнений на произвольное число, отличное от нуля;

• прибавление к обеим частям одного из уравнений другого уравнения, умноженного на любое действительное число.