3 0. Медиана. Квантили и квартили случайной величины. Их значение и интерпретация. Неоднозначность определения у дискретных св.

Р(Х≤Ме)≥0,5 Р(Х≥Ме)≥0,5

Для дискретной СВ:

Медиана непрерывной СВ, имеющей строго монотонную функцию распределения F(x) определяется как единственный корень уравнения F(x)=0,5, т.е. Ме – это такое число, что х принимает с р=0,5 как значения больше Ме, так и меньше Ме. Геометрически х=Ме делит площадь под кривой плотности вероятностей пополам. В случае, если функция плотности вероятностей абсолютно симметрична и унимодальна Ме=Мо=М(х).

Квантиль уровня q (q-квантиль) – такое значение дискретной случайной величины, при которой её функция распределения F(x_q)≤q и выполняются следующие условия Р(Х≤ x_q)≥q Р(Х≥ x_q)≥1-q

Рассуждения относительно возможного не единственного значения абсолютно аналогичны рассмотренным выше для медиан

Квантиль 0,5 – медиана, квантиль 0,25 – нижний квартиль, квантиль 0,75 – верхний квартиль.

q-квантиль – такое значение непрерывной СВ, при которых F(x)=q

3 1. Биномиальное распределение СВ. Его характеристики (вывести мат. ожидание и дисперсию). Сходства и отличия с отрицательным биномиальным законом.

Б иномиальное распределение представляет собой распределение числа Х=m наступлений события А в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р. Принимает целочисленные неотрицательные значения с вероятностями по формуле Бернулли.

Отрицательное биномиальное: дискретная СВ имеет NB(r;p), если в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи q=1-p, вероятность числа неудач k, произошедших до r-го успеха определяется по формуле . ;

32. Геометрическое распределение СВ. Его характеристики (вывести мат ожидание). Сходства и отличия с отрицательным биномиальным законом.

1 геометрический закон - закон распределения случайной величины X, представляющей собой число m испытаний, удовлетворяющих условиям схемы Бернулли, проведенных до первого успеха (наступления события А). Параметр распределения: p. вывод – на прилаг. фотках.

2 геометрический закон – Geom₂(p) – закон распределения случайной величины Y=X-1, представляющей собой число k неудач, удовлетворяющих условиям схемы Бернулли, проведенных до первого успеха (наступления события А).

Параметр распределения: p.

Geom₂(p)=NB(1,r) М(х)=q/p

33. Пуассоновское распределение. Его характеристики (вывод математического ожидания и дисперсии). Область применения. Пуассоновский поток событий.

Д искретная СВ имеет распределение Пуассона с параметром λ, если она принимает целочисленные неотрицательные значения. Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Закон распределения Пуассона называют законом редких событий, т.к. вероятность Р(A)0 в каждом испытании n∞ λ=np 0,1≤ λ≤10. M(x)=D(x)=λ=np

Вывод мат. ожидания:

Вывод дисперсии:

D(x)= λ² + λ – λ² = λ

Поток без последействия – если вероятность появления на любом участке того или другого числа событий не зависит от того, какое число событий попало на другие, не пересекающиеся с данным, участки.

Ординарный поток – вероятность появления на элементарном участке ∆t 2х или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления 1 события.

Ординарный поток без последействия называется Пуассоновский поток. Если события образуют Пуассоновский поток, то число событий, попадающих в любой участок времени (t₀; t₀+∆t) распределено по закону Пуассона.

, где а- мат. ожидание числа точек, попадающих на участок; λ(t) – плотность потока. Если λ(t)=const, то Пуассоновский поток называется стационарным или простейшим Пуассоновским потоком. Для простейшего Пуассоновского потока число событий, попадающих на любой интервал длины τ распределено по закону Пуассона а= λτ. Расстояние Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке есть непрерывная СВ, распределенная по показательному закону.