7. Основные понятия комбинаторики. Размещения. Перестановки. Их сходства и отличия. Выбор с возвращением и без.

Размещения – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются как составом, так и порядком следования элементов. Число размещений из n элементов по m (m<n):

Перестановки – любые упорядоченные множества, в которые входят по одному все n различных элементов исходного множества. Число перестановок из n элементов Перестановки – частный вид размещений при n=m

Размещения с повторениями – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются и элементами, и порядком, и возможностью повтора. Число размещений с повторениями из n элементов по m считается

Перестановки с повторениями - упорядоченные подмножества, в которых элемент а₁ повторятся n₁ раз, а₂ повторяется n₂ раз,…, а_k повторяется n_k раз.

Сходства – и там, и там важен порядок, различия – в размещениях могут использоваться не все элементы, в перестановках используются только все элементы.

8. Основные понятия комбинаторики. Размещения. Сочетания. Их сходства и отличия. Выбор с возвращением и без.

Размещения – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются как составом, так и порядком следования элементов. Число размещений из n элементов по m (m<n):

Сочетания – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом элементов (порядок их следования не важен). Число сочетаний из n элементов по m (m<n)

Размещения с повторениями – упорядоченные m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются и элементами, и порядком, и возможностью повтора. Число размещений с повторениями из n элементов по m считается

Сочетания с повторениями – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только элементами и возможностью повтора. Число всех сочетаний с повторениями из n элементов по m определяется по формуле:

Сходство – все m-элементные подмножества различаются элементами, различие – в размещениях важен порядок

9. Основные понятия комбинаторики. Сочетания. Их использование в теории вероятностей. Правило Паскаля и другие соотношения. Выбор с возвращениями и без возвращения.

Сочетания – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом элементов (порядок их следования не важен). Число сочетаний из n элементов по m (m<n)

Сочетания с повторениями – m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только элементами и возможностью повтора. Число всех сочетаний с повторениями из n элементов по m определяется по формуле:

Основные формулы: ; ; .

Правило Паскаля:

10. Аксиоматика Колмогорова. Аксиоматическое определение вероятности. Алгебра событий. Поле вероятностей. σ-алгебра событий.

Аксиоматика Колмогорова – общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятностей.

Ω –множество элементов ω (элементарное событие), -множество подмножеств Ω, называемое случайным событием.

Аксиома 1. является алгеброй событий, т.е. удовлетворяет свойствам:

- содержит невозможное событие Ø

- если А ∈ , то его дополнение Ā∈

- замкнутость относительно произведения, т.е. А ∈ ; В ∈ и АВ ∈

Аксиома 2. Каждому событию А ∈ поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р(А)≥0, которое называется вероятностью события А.

Аксиома 3. (Нормировки) Р(Ω)=1

Аксиома 4. (Аддитивности). Если А и В не пересекаются, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Совокупность (Ω; ; Р), удовлетворяющая аксиомам 1-4 называется вероятностным пространством или полем вероятностей. Алгебра событий, замкнутая относительно счетного числа теоретико-множественных операций называется σ-алгеброй событий.

Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий  Е  и каждому событию  А   Е поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события  А .