15. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Частная и общая теорема о повторении опытов в случае более двух исходов испытания.

Повторные независимые испытания (испытания Бернулли) – многократные испытания, в которых вероятность появления А не меняется в зависимости от исходов других испытаний. формула Бернулли:

Частная теорема: Проводится n испытаний в различных условиях, каждый опыт имеет k исключающих исходов А₁ А₂…А_k с вероятностью р₁ р₂…р_k (Σр_i =1). Вероятность того, что в m₁ опытах появится А₁, в m₂ опытах появится А₂ и т.д. (Σm_i =n) выражается формулой:

Общая теорема: n испытаний в различных условиях, каждый опыт может иметь k исключающих друг друга исхода А₁ А₂…А_k, причем в i-м опыте событие А_j имеет вероятность Р_ji , то вероятность того, что в m_k опытах появится А_k равна коэффициенту при члене, содержащем в разложении по степеням z₁...z_k производящей функции.

16. Повторные независимые испытания. Теорема Пуассона. Условия применения.

Повторные независимые испытания (испытания Бернулли) – многократные испытания, в которых вероятность появления А не меняется в зависимости от исходов других испытаний.

Теорема Пуассона: Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз при большом числе n-> ∞ и малой вероятности наступления события А в каждом испытании вычисляется по асимптотической формуле , где λ=np

Условия применения: 0,1≤ λ≤10 n->∞ p->0

17. Повторные независимые испытания. Приближение биномиального распределения при большом числе испытаний к нормальному. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Условия применения.

Повторные независимые испытания (испытания Бернулли) – многократные испытания, в которых вероятность появления А не меняется в зависимости от исходов других испытаний.

Приближение: С ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса. Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы  , где N(np,npq) — нормальное распределение с математическим ожиданием np и дисперсией npq.

Локальная теорема Муавра-Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях А наступит ровно m раз при n->∞ и 0<p<1 вычисляется по формуле ,где , f(t) – функция Гаусса. . Условия применения – n>30, p отлична от 0 и 1.

18. Повторные независимые испытания. Приближение биномиального распределения при большом числе испытаний к нормальному. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Условия применения

Повторные независимые испытания (испытания Бернулли) – многократные испытания, в которых вероятность появления А не меняется в зависимости от исходов других испытаний.

Приближение: С ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса. Если n большое, то в силу центральной предельной теоремы  , где N(np,npq) — нормальное распределение с математическим ожиданием np и дисперсией npq.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа: Вероятность того, что в n независимых испытаниях А наступит от а до b раз при n->∞ и 0<p<1:

, Ф(t) – функция Лапласа.

Следствия: 1.Частость m/n отличается от вероятности р события А по абсолютной величине не более чем на ε с вероятностью

2. Вероятность того, что m наступлений события А отличается от наиболее вероятного числа m₀=np по абсолютной величине не более чем на ε>0 с вероятностью равной

19.Формула полной вероятности. Формула Байеса. Область применения. Априорные и апостериорные вероятности.

Формула полной вероятности: Пусть рассматривается полная группа событий А_i и событие В, которое может осуществиться одновременно только с одним событием из А_i . Тогда вероятность Р(В) события В, которое может произойти только при условии появления одного из событий из полной группы равна сумме произведений вероятностей каждого из событий А_i на соответствующие условные вероятности В.

Формула Байеса: Если уже наступило рассматриваемое некоторое событие В, происходящее одновременно с одним из событий из полной группы А_i , причем известны вероятности этих гипотез до испытания Р(А_i), а также вероятности, сообщаемые ими событию В: Р(В| А_i). Тогда вероятность Р(А_i |В) при условии, что В произошло.

Вероятности гипотез до испытания Р(А_i) называются априорными. Вероятности гипотез Р(В| А_i) после того как произошло событие В называют апостериорными. Формула Байеса дает возможность пересмотреть вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта, по мере получения новой информации.