11. Теоремы сложения вероятностей для несовместных случайных событий (для двух случайных с доказательством)

Для двух событий: Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Доказательство: Пусть А соответствует m_A , а событию В – m_В элементарных событий (случаев). Тогда А+В благоприятствует m испытаний, который в силу несовместности не пересекаются m= m_A+ m_В случаев из общего числа N. Поэтому, Р(А+В) = m/N=(m_A+ m_В)/N=m_A/N + m_В/N = P(A)+P(B), что и тр. док.

Для любого числа попарно несовместных событий: Р(А₁+ А₂+…+ А_n)=P(А₁)+ P(А₂)+...+ P(А_n)

Следствия: 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна 1.

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

12. Теоремы сложения для 2, 3 и n совместных случайных событий (для 2 с доказательством)

Для двух событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

Доказательство: Событию А благоприятствует m_A=m_{только А} + m_AB случаев, событию В m_В=m_{только В} + m_AB. Тогда событию А+В соответствует m_A+В=m_{только А} + m_AB + m_{только В} случаев из общего числа N. Тогда Р(А+В) = m_A+В/N = (m_{только А} + m_AB + m_{только В})/N = (m_{только А} + m_AB + m_{только В}+ m_AB - m_AB)/N = (m_{только А} + m_AB )/N + (m_{только В}+ m_AB)/N - m_AB/N = m_А /N + m_В/N - m_AB/N = P(A) + P(B) – P(AB).

Для 3 событий: Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(ВС)-Р(АС)+Р(АВС)

Для n событий:

13. Зависимость случайных событий. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

События называются независимыми, если появление любого из них не меняет вероятности появления другого. Зависимые события – вероятности зависят от наступления и не наступления друг друга. Условная вероятность (Р(А|В)) – вероятность А, при условии, что В произошло.

Теорема умножения для независимых событий: Р(АВ)=Р(А)*Р(В)

Р( ) = Р(А₁)* Р(А₂)*…* Р(А_n)

Для зависимых событий Р(А*В) = Р(А)*Р(B|A)=P(B)*P(A|B)

Для любого конечного числа зависимых событий:

Р(А₁ *…* А_n) = P(A₁) * P(A₂| A₁) * P(A₃|A₁ A₂)*...* P(A_n|A₁ A₂ ... A_n-1)

14. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Частная и общая теорема о повторении опытов в случае двух исходов испытания.

Повторные независимые испытания (испытания Бернулли) – многократные испытания, в которых вероятность появления А не меняется в зависимости от исходов других испытаний.

Частная теорема о повторении опытов: Пусть проводится n независимых испытаний в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью р появляется событие А. Вероятность того, что в n испытаниях А наступит m раз считается по формуле Бернулли:

Доказательство: А_i – появление события А в i-м испытании; Р(А_i)=p. Ā_i – не появление события А в i-м испытании. Р(Ā_i)=1-p=q. Нам требуется узнать вероятность того, что в n испытаниях событие А наступило m раз. Значит событие А должно не наступить m-n раз. По теореме умножения для независимых испытаний вероятность этого равна p^m * q^n-m . Также необходимо учесть число различных комбинаций наступления и не наступления события А, т.е. домножить на . Таким образом мы получаем формулу наступления А m раз в n испытаниях .

Общая теорема о повторении опытов: Пусть в n испытаниях вероятность появления А в i-м опыте равна p_i , то вероятность того, что А наступит m раз равна коэффициенту при z^m в разложении производящей функции