Масса инертная и масса гравитационная
Масса фигурирует в двух различных законах: во втором законе Ньютона и в законе всемирного тяготения. В первом случае она характеризует инертные свойства тела, во втором — гравитационные свойства, т. е. способность тел притягивать друг друга. В связи с этим возникает вопрос, не следует ли различать инертную массу min и массу гравитационную (или тяготеющую) mg.
Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Рассмотрим в гелиоцентрической системе отсчета свободное падение тел. Всякое тело вблизи поверхности Земли испытывает силу притяжения к Земле
.
Под действием этой силы тело приобретает ускорение w (но не g):
(9.8)
Опыт показывает, что ускорение w для всех тел одинаково (из одинаковости g)
Отношение mg/min оказывается для всех тел одним и тем же. К такому же результату приводят и все другие опыты, в которых могло бы проявиться различие между инертной и гравитационной массами.
Вся совокупность опытных фактов указывает на то, что
инертная и гравитационная массы всех тел строго пропорциональны друг другу.
Это означает, что при надлежащем выборе единиц измерения гравитационная и инертная массы становятся тождественными, поэтому в физике говорят просто о массе. Тождественность гравитационной и инертной масс положена Эйнштейном в основу общей теории относительности.
Отметим, что с самого начала массу полагали совпадающей с инертной массой тел, вследствие чего численное значение нами было определено в предположении; что те — min. Поэтому (9.8) можно записать в виде
(9.9)
Последнее соотношение позволяет определить массу Земли Мз. Подстановка в него измеренных значений w, Rз и дает для массы Земли значение 5,98-10 24 кг.
Далее, зная радиус земной орбиты Rор и время полного обращения Земли вокруг Солнца Т, можно найти массу Солнца MC. Ускорение Земли, равное cu2#0p (со = 2я/Г), обусловливается силой притяжения Земли к Солнцу. Следовательно,
(9.10)
откуда может быть вычислена масса Солнца.
Подобным же образом были определены массы других небесных тел.
Основанием для установления закона всемирного тяготения Ньютону послужили три открытых Кеплером закона движения планет:
1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты описывает за равные времена одинаковые площади.
3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
Первый закон Кеплера указывает на то, что планеты движутся в поле центральных сил. Рассмотрим движение частицы в центральном поле сил.
Центральная сила имеет вид:
(9.11)
Поскольку эта сила консервативна, то можно ввести потенциальную энергию:
(9.12)
При движении в центральном поле момент силы равен нулю, т.к. угол между векторами в векторном произведении равен нулю:
(9.13)
Тогда из уравнения моментов получаем, что L есть постоянная величина. При движении частицы в центральном поле полный момент импульса сохраняется несмотря на то, что система (одна частица) не является замкнутой.
рис. 9.4
Так как вектор L = const, т.е. его величина и его направление сохраняются, и вектор L перпендикулярен к векторам r и р , то, следовательно, движение частицы происходит в плоскости перпендикулярной к L . Имеем плоскую орбиту.
Если направим ось z по вектору L, то L = Lz и траектория лежит в плоскости, перпендикулярной ocи z. Тогда
(9.14)
Геометрическая интерпретация. Найдем площадь сектора ОАВ (рис. 9.5):
Здесь ОВ - угол между радиусом r = (ОВ) и (АВ) = vdt (в пределе - касательной). Тогда:
рис. 9.5
Введем понятие секториалъной скорости', площадь, описываемая радиусом-вектором за единицу времени:
(9.15)
Таким образом, получаем 2-ой закон Кеплера, гласящий, что секториальная скорость постоянна при движении в центральном поле:
Действительно, траектория тела в поле центральных сил представляет собой плоскую кривую —гиперболу, параболу или эллипс, — фокус которой совпадает с центром сил.