Центробежная сила инерции

Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендику­лярной к нему оси z' с угловой скоростью (рис. 8.3)

рис. 8.3

(8.11)

Силу инер­ции (8.11), возникающую во вращающейся (по отношению к инерциальным системам) системе отсчета, называют центробежной силой инерции.

Различные точки во вращающейся системе от­счета обладают различ­ным по величине и на­правлению ускорением по отношению к инерциальной системе. В соответ­ствии с этим центробеж­ная сила инерции зависит от положения тела во вращающейся системе от­счета.

Центробежная сила инерции действует на тело во вращающейся системе отсчета независимо от того, по­коится тело в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движется относительно нее со скоростью v'. При точном решении задач о движении тел относи­тельно земной поверхности нужно учитывать центробежную силу инерции.

Сила Кориолиса

При движении тела относительно вращающейся си­стемы отсчета, кроме центробежной силы инерции, появ­ляется erne одна сила, называемая силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции.

Появление кориолисовой силы можно обнаружить на следующем примере. Возьмем горизонтально располо­женный диск, который мо­жет вращаться вокруг вер­тикальной оси. Прочертим на диске радиальную пря­мую О А (рис. 8. 4, а). Запу­стим в направлении от 0 к А шарик со скоростью v'. Если диск не вращается, шарик будет катиться вдоль прочерченной нами прямой.

рис 8.4

если же диск привести во вращение в направлении, ука­занном стрелкой, то шарик будет катиться по изображен­ной пунктиром кривой 0В, причем его скорость относи­тельно диска v' будет изменять свое направление. Сле­довательно, по отношению к вращающейся системе от­счета шарик ведет себя так, как если бы на него действовала сила f_к, перпендикулярная к скорости v'.

Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой, нужно сделать направ­ляющую, например, в виде ребра ОА (рис. 8.4,б). При

качении шарика направляющее ребро действует на него с некоторой силой f_r. Относительно вращающейся си­стемы (диска) шарик движется с постоянной по направ­лению скоростью. Это можно объяснить тем, что сила f_r уравновешивается приложенной к шарику силой инерции f_к, перпендикулярной к скорости v'. Эта сила и есть кориолисова сила инерции. Будем искать ее по формуле (8.9.а), начав с рассмотрения частных случаев.

Случай 1. Тело движется в радиальном направле­нии с постоянной скоростью v', перпендикулярной к оси вращения (рис. 8.5); ось вращения перпендикулярна к

рис 8.5

Таким образом, приращение dv, которое получает за время dt скорость v, можно представить как векторную сумму трех приращений (см. рис. 8.5)

Разделив соответствующие составляющие dv на dt, мы получим составляющие ускорения а по отношению к неподвижной системе,

(8.12)

Эта составляющая не зависит от v'; она существует и при v' = 0, Произведение этой составляющей на —т дает уже известную нам центробежную силу инерции.

Составляющая dv_x, равная сумме dv_xl и dv_X2, после деления на dt дает составляющую w_x ускорения w, мо­дуль которой равен

Или

(8.13)

Умножив (8.13) на m и изменив знак на обратный, получим кориолисову силу инерции:

(8.14)

С лучай 2. Относительно вращающейся системы отсчета тело движется по

рис. 8.6

окружности, лежащей в пло­скости, перпендикулярной к оси вращения, причем центр окружности лежит на этой оси (рис. 8.6). По отношению

к вращающейся системе тело обладает центростреми­тельным ускорением, которое равно

где n — единичный вектор, перпендикулярный к v' и имеющий направление к центру вращения.

Скорость тела относительно неподвижной системы от­счета будет слагаться из двух перпендикулярных к ра­диусу R составляющих: v' и R. В зависимости от на­правления скорости v' и направления вращения системы эти составляющие будут иметь либо одинаковые, либо противоположные направления. Модуль скорости v бу­дет равен

где « + » соответствует одинаковым, а «—» противопо­ложным направлениям скоростей .

По отношению к неподвижной системе тело также будет двигаться равномерно по окружности, так что ускорение w можно записать следующим образом:

Первое слагаемое представляет собой ускорение а' относительно вращающейся системы. Следо­вательно,

(8.15)

В соответствии с этим выражением сила инерции ока­зывается состоящей из двух компонент:

(8.16)

Первая из этих сил есть центробежная сила инерции, вторая — кориолисова сила.

Сила f_к перпендикулярна к векторам v' и R и имеет направление:

а) от центра, если скорости v' и R сов­падают по направлению (верхний знак в (8.16)),

б) к центру, если скорости v' и R направлены в противо­положные стороны (нижний знак). Оба эти случая можно объединить в следующем выражении:

Примеры движений, в которых проявляется кориоли-сова сила инерции. При истолковании явлений, связан­ных с движением тел относительно земной поверхности, в ряде случаев необходимо учитывать влияние кориолисовых сил. Например, при свободном падении тел на них действует кориолисова сила,

рис. 8.7

обусловливающая от­клонение к востоку от линии отвеса (рис. 8.7 а). Эта сила максимальна на экваторе и обращается в нуль на по­люсах.

Летящий снаряд также испытывает отклонения, об­условленные кориолисовыми силами инерции (рис. 8.7 б). При выстреле из орудия, направленного на север, сна­ряд будет отклоняться к востоку в северном полушарии и к западу — в южном.

П ри стрельбе вдоль экватора силы Кориолиса будут прижимать снаряд к Земле, если выстрел произведен в направлении на запад, и поднимать его кверху, если выстрел произведен в восточном направлении.

Сила Кориолиса, действующая на тело, движущееся вдоль меридиана в любом направлении (на север илина юг), направлена по отношению к направлению движения вправо в се­верном полушарии и влево в южном полушарии. Это приводит к тому, что у рек подмывается всегда правый бе­рег в северном полушарии и левый берег в южном полушарии. Эти же причины объясняют неодинаковый износ рельсов при двухколейном дви­жении.

Силы Кориолиса проявляются и при качаниях маятника. На рис. показана траектория груза маятника (для простоты предположено, что ма­ятник находится на полюсе). На се­верном полюсе сила Кориолиса будет все время направлена ??? по ходу маятника, на южном полюсе — ??? . В итоге траектория имеет вид розетки.

Как следует из рисунка, плоскость качаний маятника поворачивается от­носительно Земли в направлении ???, причем за сутки она совершает один оборот. Относительно гелиоцентрической системы отсчета дело обстоит так, что плоскость кача­ний остается неизменной, а Земля поворачивается отно­сительно нее, делая за сутки один оборот.

Вес тела

Весом тела называется сила Р, рав­ная и противоположно направленная силе, с которой это тело действует на подставку, на которой оно лежит, или тянет за подвес, к которому оно подвешено. При этом предполагается, что тело, подставка и подвес покоятся в той системе отсчета, в ко­торой производится взвешивание.

Когда говорят о весе тела, обычно предполагают, что тело, подставка и подвес покоятся относительно Земли.

(8.17)

С учетом вращения Земли

(8.18)

Если тело подвешено на нити, то направление нити определяет направление силы Р, а следовательно, и ускорение свободного падения g. Оно называется направлением отвеса или отвесным направлением.

2. Вектор g_абс характеризует гравитационное поле Земли. В каждой точке пространства он определяется только размерами и формой Земли, а также распределением вещества в ней. Если бы Земля была правильным шаром, а вещество внутри нее было распределено сферически-симметрично, то вектор g_абс. был бы на­правлен точно к центру Земли. Направление отвеса определяется вектором g, т. е. диагональю параллелограмма, построенного на векторах g_a6c и ²r_ (рис. 8.8). Таким образом, если бы даже Земля была строго сферически-симметрична, то направление к ее центру не совпадало бы с направлением отвеса. Ввиду медленности вращения Земли и малости ее сплюснутости, оба направления отличаются друг от друга весьма мало. Для сферически-симметричной Земли угол  между ними определяется формулой

(8.19)

где — географическая широта рас­сматриваемого места (рис. 8.8). На полюсе и на экваторе угол  обра­щается в нуль. Для реальной (несферической) Земли формула (8.19), хотя и приближенна, но достаточно точна.

рис. 8.8

Проектируя векторы g_a6c и ²r_ на направление вектора g и полагая cos 1:

(8.20)

Ошибка этого расчета порядка ².

Величина g может быть найдена путем взвешивания или из опытов по свободному падению тел. Более точно ее можно найти, измеряя период колебаний оборотного маятника. Опыты показали, что g зависит от географической широты. На полюсе g = 983,2 см/с², на экваторе g = 978,0 см/с². Если бы Земля была правильным шаром со сферически-симметрич­ным распределением вещества в нем, то величина g_a6c должна была бы быть одной и той же на полюсе и на экваторе. В действительности на экваторе g_a6c меньше, чем на полюсе. Это объясняется сплюснутостью Земли, обусловленной действием центробежных сил. Точки экватора отстоят от центра Земли дальше, чем полюсы. Поэтому они притягиваются к центру Земли слабее, чем такие же точки на полюсе. Состояние «невесомости» - самостоятельно.