2.3 Уравнения, приводящиеся к однородным.
Рассмотрим уравнение
(1)
Пусть
где
,
Возьмём
так, чтобы
(4)
Система линейных
уравнений (4) имеет единственное решение,
т.к. её определитель
т.е. решая систему (4) получим числа
- это однородное уравнение, решаемое
с помощью замены
Случай
Пример:
Замена:
,
и т. д.
Линейные уравнения. Уравнение Бернулли.
Определение:
Уравнение вида
Если
,
то уравнение (1) имеет вид
–(2) линейное однородное уравнение
уравнение
Уравнение (2) – уравнение с разделяющимися переменными.
Решение уравнения (2):
– общее решение уравнения
(2). (*)
Решение уравнения (1):
Подстановка:
(3)
(4)
Положим:
решение этого уравнения (*)
возьмём
частное решение
Подставляя
(5) в (4) :
Подставляя (5) и (6) в (2), получим общее решение:
– общее решение уравнения
(1)
(линейное уравнение)
Другой подход к решению линейных уравнений .
Сначала решаем соответствующее однородное уравнение
Получим:
(3)
Далее ищем решение уравнения (1) в виде (3),
где
новая
неизвестная функция
Такой подход называется методом вариации произвольной постоянной.
3.2 Уравнение Бернулли
;
где
Решение
ищем в виде:
Положим
Подставляя
V
в (2) т.е.
– уравнение с разделяющимися переменными.
Другой подход:
Разделим
уравнение на
4.Уравнение в полных дифференциалах.
Определение:
Дифференциальное уравнении
(1)
называется уравнением в полных
дифференциалах,
если
в некоторой области
.
Теорема:
Для того, чтобы выражение
было полным дифференциалом некоторой
функции
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
равенство (2).
Необходимость:
Пусть
– полный дифференциал функции
Достаточность: Пусть выполняется (2)
Докажем, что левая часть уравнения (1) – полный дифференциал некоторой функции и найдём эту функцию.
Если
Из
(2):
;
известно:
Получим:
Из
Тогда:
- общий интеграл уравнения (1).
Пример:
5.Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка.
5.1 огибающая семейства кривых.
Пусть
дано семейство кривых
Кривая
называется огибающей семейства, если
она в каждой своей точки касается одной
линии семейства.
5.2 Нахождение огибающей.
Пусть
– (1)
семейство кривых.
Для огибающей в
каждой точке С различно, т.е.
В
этих точках
(2)
Угловой коэффициент касательной к кривой семейства найдётся из равенства
,
Подставляя
в (2), получим
.
На
огибающей семейства
,
поэтому
,
остаётся
Таким образом для определения огибающей имеем систему уравнений
.
Исключая из этой системы , получим уравнение огибающей.