1. Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения. Определения. Уравнения первого порядка. Задача Коши.

Определение 1:

Уравнение, содержащие независимую переменную x, неизвестную функцию y и её производные y’, y’’,…,y⁽ⁿ⁾ называется дифференциальным.

Здесь y - неизвестная функция (искомая)

Уравнение F(x,y) = 0 – конечное уравнение.

F(x,y,y’,y’’,…, y⁽ⁿ⁾ ) = 0 – дифференциальное уравнение.

Определение 2:

Максимальный порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения.

Например: y’=ky – уравнение первого порядка.

y’’+a²y=0 – уравнение второго порядка.

Примеры:

1. m a=F – уравнение движения материальной точки по прямой. Если -время, - путь, то уравнение имеет вид

или – уравнение движения материальной точки в пространстве.

2. Уравнение радиоактивного распада:

Пусть m(t) масса вещества.

3) Уравнение цепной линии

,

где - - линейная плотность цепной линии,

натяжение цепной линии.

Дифференциальное уравнение первого порядка

относительно производной.

Задача Коши (начальная задача)

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

, (1)

а также точка (2)

Определение 1. Решить задачу Коши (или начальную задачу) уравнения (1) с начальным условием (2) – значит найти функцию , удовлетворяющей уравнению (1) и начальному условию (2): .

Теорема.

Если в уравнении функция и её частная производная непрерывны в некоторой области на плоскости , содержащей точку то существует единственное решение этого уравнения , удовлеворяющее условию .

Определение 2. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (1) называется функция от произвольной постоянной , и удовлетворяет условиям:

а) она удовлетворяет исходному уравнению при любом значении ;

б) при всяком начальном условии найдётся такое , что выполнится условие )= .

Определение 3. Частным решением уравнения (1) называется функция , получающаяся из общего решения при конкретном значении

Замечание. Решение уравнения (1), полученное в неявном виде , называется общим интегралом дифференциального уравнения.

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

Однородные уравнения и приводящиеся к ним.

2.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.

- общее решение.

Уравнение вида

- также уравнение с разделяющимися переменными.Его решение -

Замечание:

2.2 Однородные уравнения. Определение:

Решение:

.