36.Предел функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) при x->а если для любого E>0 существует такое δ зависящее от (E)>0 что из неравенства 0<lx-al<δ => |f(x)-b|<E

lim_x->af(x)=b

Из определения следует что когда х изменяется от а-δ до а+δ график функции находится на полосе между у=в-Е и у=в+Е

37. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция вида f(x) называет Б м при x->a если для любого Е>0 существует δ зависящее от (Е)>0,такое что из нер-ва 0<lx-al<δ следует |f(x)|<E

Функция вида f(x) наз-ся б.б,при x->a, если для любого L>0 существует δ>0,такое что из нер-ва 0<lx-al<δ следует |f(x)|>L

Теорема 1: Функция обратная к бм при x->a является бб и наоборот.

Док-во: f(x) бм x->a для любого хͼ(a-δ,а+δ) |f(x)|<E. На том же самом интервале если поменять функцию на обратную меняется знак.

l1/f(x)l>1/E 1/E=L l1/f(x)l>L

Функция f(x) наз-ся ограниченной на множестве М если существует С>0 такое что для любого x ͼ М |f(x)|<=C

Если f(x) имеет предел при x->a, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.

Теорема 2: При произведении бм функции f(x) при x->a на ограниченную функцию g(x) есть функция бм.

Следствие 1: Произведение 2х бм функций при х->а есть бм функция.

Следствие 2: Произведение постоянного множителя на бм есть бм.

Теорема 3: Сумма 2х бм функций есть бм функция.

Теорема 4: Отношение f(x) бм при x->а ,к функции к функции предел которой отличен от 0, есть функция бм.

38. Основные теоремы о пределах.(предел постоянной, связь ф-ции с ее пределом, предел суммы)

Теорема 1: предел постоянной равен самой постоянной.

Lim_x->ac=c lf(x)-bl<E lc-cl=0<E

Теорема 2 (о связи функции с пределом): Для того чтобы b=lim f(x) при x->a необходимо и достаточно чтобы f(x)=b+α(х)

Док-во: lim _x->a f(x)=b l f(x)-b l<E f(x)=b+α(х)

lα(х)l<E α(х) -бм

α(х)=f(x)-b

lim _x->a f(x)=b

Теорема 3: Предел суммы конечного числа функций имеющие пределы lim _x->a (f(x)+g(x))=lim _x->a f(x)+lim _x->a g(x) равен сумме их пределов.

39.Основные теоремы о пределах(предел произведения, предел частного, предел промежуточной ф-ции)

Теорема 4: Предел произведения конечного числа функций имеющих пределы при x->a равен произведению lim _x->a f(x)*g(x)=lim _x->a f(x)*lim _x->a g(x)

Док-во: lim _x->a f(x)=b f(x)=b+α(х)

Lim _x->a g(x)=c g(x)=c+β(х)

f(x)*g(x)=(b+α(х))*(c+β)=b*c - бм

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак придела.

Теорема 5: Предел отношения 2х ф-ций имеющие предел при x->a равен отношению их пределов при условии что предел знаменателя отличен от 0.

Lim _x->af(x)/g(x)=lim _x->a f(x)/lim _x->a g(x) ; lim _x->a g(x)≠0

Теорема 6: (лемма о 2х полицейских): Если функции f(x), g(x), φ(x) удовлетворяет неравенству f(x)<=g(x)<=φ(x) в некоторой окрестности точки а и f(x) и φ(x) имеют равные пределы то и функция имеет такой же предел в окрестности этой точки.

41. Второй замечательный предел.

Последовательностью называется функция заданная на множестве натуральных чисел.

Возрастающая последовательность - это последовательность в которой каждый ее последующий элемент больше предыдущего. Последовательность называется ограниченной если существует такое число с>0 что модуль каждого члена последовательности <=c

Теорема: Всякая возврастающая ограниченная последовательность имеет предел.

lim_x->∞(1+1/x)^x= lim_x->∞(1+x)^1/x=e

e=2,7

42. Понятие о неопределённостях. Общие приемы раскрытия неопределенностей.

Часто для вычисления пределов существуют такие ситуации вида {0/0};{ ∞/∞}, {1^∞}, {+- ∞}; {∞^∞}называемые неопределенностями.

Примеры раскрытия неопределенностей:

∞/∞ делим на старшую степень

∞ - ∞ к общем знаменателю

корень-корень бесконечность - бесконечность домножаем на корень+корень

бесконечность + бесконечность= +бесконечность

43. Сравнение бм функций. Эквивалентность бм.

1)Пусть α (х) и β (х) – бм x->a, тогда имеют место соотношения:

1. α (х) и β (х) называются бм одного порядка малости если предел их отношения равен числу отличеному от нуля.

2. α (х) имеет более высокий порядок малость если lim _x->a α (х)/β (х)=0

3. α(х) имеет более низкий порядок малости если lim _x->a α(х)/β(х)=∞

4. α(х) имеет порядок малости к относительно β(х) если lim _x->a α(х)/β(х) =А(≠0;≠∞)

5. бм называются не сравнимыми если предела их отношения lim _x->a α(х)/β(х) не существует.

2)2 бм при x->a называются эквивалентными если lim _x->a f(x)/g(x)=1

Если f(x) эквивалентно g(x) то существует их примерное равенство при x->a

Теорема 1: Пусть f(x) эквивалентен f₁(x), а g(x) эквивалентен g₁(x), тогда если существует lim _x->a f(x)/g(x), то существует и lim _x->a f₁(x)/g₁(x) и эти пределы равны.

Док-во:

lim _x->a f(x)/g(x)= lim _x->a f₁(x)/g₁(x) * f(x)/f₁(x) * g₁(x)/g(x) = lim _x->a f₁(x)/g₁(x) * lim _x->a f(x)/f₁(x) * lim _x->a g₁(x)/g(x) = lim _x->a f₁(x)/g₁(x)

Теорема 2: Для того чтобы f1(x) эквивалентна g1(x) достаточно чтобы их разность была бм более высокого порядка.

Док-во: пусть f(x) эквивалентен g(x)

lim _x->a β(х)/g(x)=lim _x->a (f(x)-g(x))/f(x)=lim _x->a f(x)/f(x)-lim _x->a g(x)/f(x)= 1-1=0

Пусть β(х) бм

lim _x->a β(х)/f(x)=0 lim _x->a (f(x)-g(x))/f(x)=0 lim _x->a f(x)/f(x)-lim _x->a g(x)/f(x)=0 1-lim _x->a g(x)/f(x)=0 lim _x->a g(x)/f(x)=1

Теорема 3: Сумма конечного числа бм эквивалентен слагаемому имеющий самый низкий порядок малости.

Основные эквивалентности:

1. sin α (х) эквивалентно α(х)

2. tg α(х) эквивалентноα(х)

3. arcsin α (х) эквивалентно α(х)

4. arctg α(х) эквивалентно α(х)

5. e ^α(х) -1 эквивалентно α(х)

6. ln(α(х)+1) эквивалентно α(х)

7. a ^α(х) -1 эквивалентно α(х)*lna

44. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.

1)Функция f(x) непрерывна в точке x=x₀ если:

1. f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀

2. существует предел f(x) при x->x₀

3. lim_x->x0 f(x)=f(x₀)

Если в точке х₀ существует односторонний предел равный значению функции в этой точке, то если этот предел слева и он равен х₀ то говорят о непрерывности функции справа.

Если точка х₀ принадлежит к области определения, нарушается хотя бы одно из условий непрерывности то точка х₀ называется точкой разрыва.

2)Если в точке х₀ существует конечные односторонние пределы, то х₀ называется точкой разрыва 1го рода, причем если lim _x->x0+0 f(x)=lim _x->x0-0 f(x) ≠ f(x₀) то х₀ называется точкой устранимого разрыва.

Если односторонние пределы конечно не равны друг другу, то говорят что в этой точке функция терпит скачек.

Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, х₀ называется точкой разрыва второго рода.

45. Непрерывность элементарных функций. Действия над непрерывными функциями.

Теорема 1: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀ тогда их сумма и произведение также непрерывны в этой точке, если g(x₀)≠0 то отношение этих функций также непрерывно в этой точке х₀.

Док-во: F(x)=f(x)*g(x) непр lim _x->x0F(x)= lim _x->x0 f(x)*g(x)=lim _x->x0 f(x) * lim _x->x0 g(x)=f(x₀)*g(x₀)=F(x₀)

Все осн. Элементарные ф-ции непрерыв.в области их определения

Теорема 2: Пусть u=φ(х) непрерывна в х₀, а y=f(u) непрерывна в u₀=φ(х₀), тогда y=f(φ(х)) непрерывна в х₀.

46. Свойства функции, непрерывных на отрезке.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b] если она непрерывна в каждой ее внутренней точке, а на концах в точке а непрерывна справа, а в точке b непрерывна слева.

lim _x->а+0f(x)=f(a) lim _x->b-0 f(x)=f(b)

Теорема 1: Если функция непрерывна на отрезке [a,b] то на этом отрезке она достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Если отрезок заменить интервалом, то теорема становится неверна.

Следствие: Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2: Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения с разными знаками, то существует хотя бы одна точка принадлежащая отрезку, в которой функция равно 0.

Теорема 3: f(x) непрерывная на [a,b] принимает значения на его концах А и В тогда какое бы ни было число С лежащие между А и В, существует как минимум 1 число С на [a,b] что f(c)=C.

47. Определение производной. Ее геометрический и физический смысл.

Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при произвольном стремлении последнего к 0.

lim_{∆ х->0} ∆ y/∆ х=lim _{∆ х->0} (f(x₀+ ∆ х)-f(x₀))/∆ х=f’(x₀)

Физический смысл:

S=f(t) дельта t =t-t0

средняя скорость находится V= дельтаS/дельтаt

дельта t->0 тогда можно найти мгновенную скорость V(t0)=lim _{дельта t->0} дельта s/ дельта t=S’(t0)

48. Производные основных элементарных функций.

(c)’=0

(xⁿ)’=n*x^n-1

(e^x)’=e^x

(a^x)’=a^x*lna

(ln x)’=1/x

(log_ax)’=1/xlna

(cosx)’= - sinx

(sinx)’=cosx

(tgx)’=1/cos²x

(ctgx)’=-1/sin²x

(arcsinx)’=1/√(1-x²)

(arccosx)’=-1/√(1-x²)

(arctgx)’=1/1+x²

(arcctgx)’= - 1/1+x²

49. Основные правила дифференцирования.

Теорема 1: Если функции f(x) и g(x) дифференцируема в точке х то их сумма также дифференцируется в этой точке и ее производная равна (f(x)+g(x))’=f’(x)+g’(x)

Теорема 2: Если f(x) g(x) дифференцируема в точке х то их произведение также дифференцируется в этой точке и ее производная находится по правилу (f(x)*g(x))’= f’(x)*g(x)+g’(x)*f(x)

Док-во: F(x)=f(x)*g(x)

F(x+∆x)=(f(x)+∆f(x))*(g(x)+∆g(x))

∆f=f(x+∆x) -f(x)

∆f+f(x)=f(x+∆x)

∆g=g(x+∆x)-g(x)

∆g+g(x)=g(x+∆x)

F(x+∆x)=f*g+∆f*g+f*∆g+∆f*∆g

∆F=F(x-∆x)-F(x)=∆f*g+f*∆g+∆g*∆f

F lim_∆x->0 ∆f/∆x=lim _∆x->0 ∆f*g/∆x+lim _∆x->0 ∆g*f/∆x+lim_∆x->0 ∆g*∆f/∆x=g*lim _∆x->0 ∆f/∆x+f*lim_∆x->0 ∆g/∆x+lim _∆x->0 ∆ f* lim_∆x->0 ∆g/∆x=g*f’+f*g’

Следствие: Постоянный множитель выносится за знак производной.

Теорема 3: Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х то и их части также дифференцируема в этой точке и его производная находится по правилу (f/g)’=(f’*g-g’*f)/g² при условии что в точке х функция g≠0.

50. Дифференцируемость функции и ее связь с непрерывностью.

Если функция имеет производную в точке то она называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала, то она называется дифференцируемой на этом интервале.

Теорема 1: Если функция дифференцируема в точке х₀, то она непрерывная в этой точке.

Док-во: ∆x=x-x₀ ∆y=f(x)-f(x₀)

рассмотрим предел приращения функции ∆y=∆y/∆x * ∆x

lim_∆x->0 ∆y=lim_∆x->0 ∆y/∆x*∆x=lim_∆x->0 ∆y/∆x * lim_∆x->0 ∆x=f’(x)*0=0

lim_∆x->0 f(x)-f(x₀)=0

lim_∆x->0 f(x)= lim_∆x->0f(x₀)

51. Производная сложной функции.

Теорема: Пусть функция u=φ(х) дифференцирована в точке х и имеет производную u’_x, а функция y=f(u) дифференцируемая в точке u имеет производную y’_u, тогда сложной функция y=f(φ(х)) дифференцируема в точке х, то производная определяется по правилу y_x’=y’_u*u’_x

Док-во: Предадим х приращение ∆х, u=f(x) получится приращение ∆u, а y=f(u) получит приращение ∆у. ∆u≠0

∆y/∆x=∆y/∆u=∆u/∆x

lim_∆x->0 ∆y/∆x=lim _{∆ x->0} ∆y/∆u * ∆u/∆x=lim _{∆ x->0} ∆y/∆u * lim _{∆ x->0} ∆u/∆x

в силу непрерывности если ∆u->0 то и ∆x->0

=lim _{∆ u->0} ∆ y/∆u * lim _∆x->0 ∆u/∆x=y’_u*u’_x

52. Производная обратной функции.

Пусть функция y=f(x) возрастает или убывает на отрезке [a,b]. х пробегает значения от а до с, y пробегает значение от b до d. Существует функция x=f(y) которая каждым значениям у из интервала от c до d ставит соответствующий х из интервала от a до b. Обратная функция.

Теорема: Пусть функция x=φ(y) является обратной функцией y=f(x) и имеет производную в точке у равную φ’(y) тогда функция f(x) будет дифференцируема в соответствующей точке х и ее производная будет равна f’(x)=1/φ’(y)

Док-во:

x= φ(y) придадим аргументы приращение ∆у,тогда ф-ция получит приращение ∆х

lim _{∆ y->0} ∆x/∆y=lim _{∆ y->0}1/∆y/∆x={ ∆x->0}=lim _{∆ x->0}1/ lim _∆x->0 ∆y/∆x=1/lim _{∆ x->0} ∆y/∆x=1/f’(x)

53. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявных функций.

y=[f(x)]^g(x)

lny=g(x)*ln f(x)

y’/y=g’(x)*ln f(x) + g(x)* f’(x)/f(x)

y’=[f(x)]^g(x)(g(x)*ln f(x)+g(x)*f’(x)/f(x))

Неявной называется функция представленная в виде равенства содержащая х и у и неразрешимая относительно х. Чтобы дифференцировать ее, дифференцируют обе стороны от х помня что у - функция от х, а затем выражают у’

54. Производные высших порядков. Физически смысл второй производной.

1)2ой производной называется производная от ее 1й производной.

f’’(x)=(f’(x))’

Производной n-ого порядка называется производная от ее n-1 производной.

f⁽ⁿ⁾(x)=(f^(n-1)(x))’

2)Физический смысл: Пусть точка движется прямолинейно и ее скорость меняется по закону v=f(t)

(V(t+∆t)-V(t))/∆t=ωср (среднее ускорение на данном участке)

∆t->0 значит мгновенной ускорение:

ω(t)=lim(V(t+ ∆t)-V(t))/∆t=V’(t)

тк скорость производная пути: ω(t)=(S’(t))’=S’’(t)

55. Дифференциал функции.

f’(x)= ∆x называется главной частью приращения функции, линейной относительно приращения аргумента или ее дифференциалом и обозначается dy(df(x))

dy(x)=f’(x)∆x

Рассмотрим y=x dx=(x’)*∆x=1*∆x=∆x

df(x)=f’(x)*dx

56. Дифференциал суммы, произведения, частного. Дифференциал сложной функции.

1)d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(x)

Док-во: d(f(x)+g(x))=(f(x)+g(x))’dx=(f(x)+g’(x))dx=f’(x)dx+g’(x)dx=df(x)+dg(x)

Дифференциал произведения определяется по правилу d(f*g)=gdf+fdg

d(f/g)=(gdf-fdg)/g²

Следствие 1: dcf(x)=cdf(x)

Следствие 2: df(x)=d(f(x)+c)

2)y=f(x) x=φ(х) y=f(φ(t))

dy=y’_t dt=y’_x*x’_t dt=y’_xdx

Инвариантность формы дифференциала: Форма дифференциала не меняется от того является ли переменная независимой или промежуточной.

57. Дифференциал высших порядков. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

1)Дифференциалом n-го порядка равен диф-лу от диф-ла n-1 порядка и определяется формулой

dⁿ(y)=f⁽ⁿ⁾*(x)dxⁿ

2)∆y=f’(x) ∆x

dy= ∆y

f(x₀+ ∆x)=f(x₀)+f’(x₀) ∆x

58. Дифференцирование ф-ций,заданных параметрически

Функция может задаваться неявным образом y=f(x),а как совокупность 2х функций x=φ(t) y=x(t) зависящих от 3- ей переменной t, который называется параметром. t пробегает все значения из совместной области определения функций.

y=ψ(t) x=φ(t) => t=Ф(х)

y=ψ(Ф(х)) y’_x=ψ’_t* Ф’_х y’_x=ψ’_t / φ’_t y’’_x=(ψ’_x)_t’ / φ’_t

59. Теорема Ферма.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а,в) и достигает на этом интервале своего наибольшего или наименьшего значения в некоторой точке, тогда если в этой точке существует производная ф-ции, она =0.

Доказательство: Пусть в точке с принадлежащей (а,в) функция принимает наибольшее значение, тогда для любого ∆х f(c+∆х)-f(c)≤0

60. Теорема Ролля

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [a,b] и дифференцирована во всех его внутренних точках и принимает в его концах значение равное 0, тогда существует точка с ͼ [a,b] что f’(c)=0

Док-во: По свойствам функции непрерывных на отрезке, f(x) достигает своего наименьшего и наибольшего значения, значит согласно теорема Ферма, производная функции равна 0.

Замечание: На концах a и b, функция может не равняться 0, а просто иметь одинаковые значения.

Геометрический смысл: Существует точка на отрезке (a,b), в которой касательная // ОХ.

61.Теорема Лагранжа.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке (а,в) и дифференцирована во всех его внутренних точках, тогда существует точка с принадлежащая (а,в) что имеет место равенство (f(b)-f(a))/b-a=f’(c)

Док-во: A(a,f(a)) B(b,f(b)) (y-f(a))/(f(b)-f(a))=(x-a)/(b-a)

y=f(a)+(f(b)-(f(a)/(b-a))*(x-a)

f(x) равна разности ординат точек с абсциссой х.

F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-(f(a))/(b-a)(*x-a)

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. F(b)=0

Функция дифференцированная на отрезке (а,в) F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)

Согласна теорема Ролля существует точка с что F’(c)=0

f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Геометрический смысл: f’(c)-угловой коэффициент точки с. (f(b)-f(a))/(b-a) угловой коэффициент секущей. При выполнении условий теоремы, существует точка в которой касательная // секущей.

62. Теорема Коши.

f(x) и φ(x) определены и непрерывны на отрезке (a,b) и дифринц. Во всех его внутренних точках

Пусть существует f(x) непрерывный на [a,b] и дифференцированный на всех его внутренних точках φ(х)≠0 тогда существует точка с внутри (a,b), что имеет место равенство: (f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a))=f’(c)/φ’(c)

Доказательст: введем вспомог ф-цию F(x)=f(x)-f(a)- (f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a))*(φ(x)-φ(a,b))

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля,она непрерывна на (а,в),тк непрерывны f(x) и φ(x),на концах отрезка ф-ция обращается в 0

F(a)=F(b)=0

Ф-ция дифференциал на (а,в) и имеет производную F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a))*φ’(x) ,тогда согласно теореме Ролля f’(c)-(f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a))

Замечание: из условий теоремы следует φ(а)≠φ(в)

Замечание 2: при φ(х)=х, получаем из частного случая формула Коши формулы Лагранжа.

63. Правило Лопиталя.

Теорема: Пусть функции f(x) и φ(х) определенны и непрерывны на (а,в) причем f(a)=φ(а)=0 и дифференцированы во всех точках этого отрезка, тогда если существует предел lim _x->af’(x)/φ’(x) то существует и предел lim _x->a f’(x)/φ’(x) и эти пределы равны.

Док-во: х ͼ (а,в) возьмем [a,x] и запишем формулу Коши

f(x)-f(a)/(φ(b)-φ(a))=f’(ç)/φ(ç) ç ͼ (а,х)

f(x)/φ(х)=f’(ç)/φ’(ç) x->a ç->a

lim_x->af(x)/φ(x)=lim_x->af’(x)/φ’(x)=lim_ç->af’(ç)/φ’(ç)=lim_x->af’(x)/φ’(х)

Замечание 1: Правило применяется только при неопределенностях {0/0};{∞/∞}

Замечание 2: Если после применения пр.Лопиталя неопредел сохраняется,это правило можно применить ее еще раз.

Замечание 3: Чтоб применить правило, функции f(х) и φ(х) в точке а должны быть дифференциалы.

64. Возрастающие и убывающие функции (необходимые и достаточные условия)

Функция f(x) называется возрастающей на (a,b) если для любых х₁,х₂ принадлежащих (a₂,b₂) есть x₁<x₂ => f(x₁)<f(x₂)

Функция называется убывающей если для любого х₁ х₂ из (a,b) x₁>x₂ => f(x₁)>f(x₂)

Если функция только возрастает или убывает то ее называют монотонной.

Теорема 1(необходимый признак возрастания функции) Если функция f(x) непрерывна и дифференцирована на (a,b), возрастает на этом интервале, то его производная не может быть отрицательной в любой точке.

дельта х<0 f(x+ ∆x)<f(x)

(f(x+ ∆x)-f(x))/∆x>0

∆x>0 f(x+ ∆x)<f(x)

(f(x+∆x)-f(x))/∆x>0

lim _∆х->0(f(x+ ∆x)-f(x))/∆x=f’(x)>0

Теорема 2 (необходимый признак убывания функции) Если функция f(x) непрерывна и дифференцирована на (a,b) убывает на интервале то его производная не может быть положительной ни в одной точке интервала

Теорема 3 (Достаточное условие возрастания функции) Если f(x) непрерывна и дифференцирована на (a,b) имеет в каждой точке этого отрезка положительные производные, то она возрастает на этом отрезке.

Док-во: f’(x)>0 x ͼ [a,b]

x₁ x₂ принадлежат (a,b) x₁<x₂

(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=f’(ç) ç ͼ (x₁,x₂)

f(x₂)-f(x₁)=f’(ç)(x₂-x₁)=0

f(x₂)>f(x₁)

Теорема 4:(достаточное условие убывания функции) Пусть функция f(x) непрерывна и дифференцирована на отрезке (a,b), имеет в каждой точке этого отрезка отрицательную форму => убывает на отрезке

65. Экстремумы функции

Точка х₀ называется точкой макс функции если существует такая окрестность точки х₀ принадлежащей области определения функции, что для любых х из окрестности f(x)<f(x₀)

Точка х₀ называется точкой мин функции если существует такая окрестность точки х₀ в принадлежащие области определения функции: что для любого х f(x₀)<f(x)

Теорема 1: Если функция имеет в точке х₀ экстремуму, то ее производная в этой точке если она существует равна 0.

Точки в которых производная функции равна 0 или не существует называют критическими точками.

Теорема 2 (1 достаточное условие существования экстремума) Пусть х₀ критическая точка равна 0, тогда если при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с + на -, точка х₀ - мак, а если с - на + то х₀-мин.

Теорема 3(2ое достаточное условие существования экстремума) Пусть х₀ - критическая точка функции тогда если 1ая по счету отличной от 0 в этой точке производная имеет четный порядок, то в этой точке есть экстремума, если эта производная < 0, то макс, если > то мин. Если правая отлична от 0, производня имеет нечетный порядок, то экстремумы в этой точке нет.

66. Выпуклости и вогнутости графика ф-ций.

График функции имеет выпуклость на некотором интервале если в каждой точке интервала касательная проходит выше него.

График имеет вогнутость если касательная в каждой точке находится ниже ее.

Теорема (достаточное условие выпуклости/вогнутости) Пусть функция непрерывна и дважды дифференцирована на (a,b) тогда если в каждой точке этого отрезка, его 2ая производная <0, то на этом отрезке график имеет выпуклость, если >0, то вогнутость.

67. Точки перегиба графика ф-ций.

Точки в которых выпуклость на графике переходит в вогнутость или наоборот, называется точками перегиба.

Теорема 1 (Необходимое условие существования точек перегиба) Пусть функция имеет непрерывную 2ю производную на некотором интервале, тогда если в точке х0 из этого интервала, функция f(x) имеет точки перегиба, то 2я производная функции этой точки равна 0.

Точки в которых 2ая производная функции f’(x)=0 или не существует называется критическими точками 2го рода.

Теорема 2 (достаточное условие существования т перегиба) Если при переходе через критические точки, 2я производная меняете знак, то в критических точках график функции имеет точку перегиба.