Построение формул логических функций по значению таблицы истинности этой функции
Для того чтобы синтезировать некоторое цифровое устройство, сначала алгоритм работы этого устройства записывается в словесном виде, а затем по этому алгоритму составляется таблица истинности, то есть задаются все возможные сочетания значений аргументов и на каждом наборе записывается значение функции, которое она принимает.
Имея таблицу истинности, мы можем написать формулу логической функции, по которой работает данное цифровое устройство. Мы оттискиваем те наборы переменных, на которых функция принимает единичное значение, и записываем эти наборы в виде элементарных конъюнкций, соединяя знаками дизъюнкциями эти элементарные конъюнкции, мы говорим тем самым, что функция принимает единое значение (на выходе прибора будет единичный сигнал), либо в первом случае, либо во втором и т. д..
Элементарная конъюнкция записывается следующим образом, в прямом виде записывается та переменная, которая принимает значение единицы, в инверсном виде записывается та переменная, которая принимает нулевое значение.
Пример: построить формулу логической функции заданной таблицей истинности
|
Х1 |
Х2 |
Х3 |
F(X1, X2, X3) |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
6 |
1 |
1 |
0 |
0 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Запишем все возможные наборы значений переменных. Пусть из условий алгоритма функционирования этого прибора известно, что функция должна принимать единичное значение. Построим формулу логической функции в ДНФ.
F
(X1,
X2,
X3)
= Q0
v
Q3
v
Q4
v
Q5
v
Q7
=
X1
* X2
* X3
v
X1
* X2
* X3
v
X1
* X2
* X3
v
X1
* X2
* X3
v
X1
* X2
* X3
Формула работы некоторого прибора
Минимизация логических функций
При построении цифровых устройств важным моментом является уменьшение аппаратных затрат на создание прибора. Эти затраты на прямую связаны с количеством логических элементов, которые будут установлены в приборе, а это количество в свою очередь определяется сложностью формулы логической функции.
Чтобы не устанавливать внутри прибора лишних логических элементов исходную формулу необходимо эквивалентно упростить, то есть минимизировать.
Существуют два способа минимизации логических функций:
1. Метод непосредственных преобразований. В основе этого метода лежит использование основных законов алгебры логики и их следствий, а также используются известные тождественные выражения. Этот метод близок к «искусству» и им пользуются при хорошем знании математический логики.
2. Метод плоскостных диаграмм (диаграммы Вейча)
Под плоскостной диаграммой понимается такая таблица, которая разбита на квадраты и каждый квадрат этой таблицы «адресуется» значением элементарной конъюнкции. Количество квадратов в таблице зависит от числа используемых переменных К=2n.
Если число переменных большое, то использование таблицы получается затруднительным. Рассмотрим вариант таблицы для четырёх переменных, в этом случае в таблице получится 16 квадратов. Нарисуем адресацию этих квадратов с помощью элементарной конъюнкции.
Х2
Х2
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
1
|
6
Х1 Х3
Х3
Х1
Х3
Х4 Х4 Х4
1
)
Х1
Х2
Х3
Х4
соседние
конъюнкции
2 ) Х1 Х2 Х3 Х4
………………..
1 6) Х1 Х2 Х3 Х4