Лекция №2
Многообразие формул логических функций представляется способами записи этих формул с помощью сочетаний логических переменных и знаков логических операций. Для практического использования применяют так называемые нормальные формы представления сложных формул логических функций. Некоторые из форм называются нормальными. Для построения нормальных форм используется понятие элементарной конъюнкции.
Элементарной конъюнкцией называется логическое произведение переменных, которые могут входить туда в прямом или инверсном виде.
Q i(5) = X1*X2*X3*X4*X5
Количество переменных в этом произведении может быть разным. Единственное условие, что переменная должна входить в это произведение только один раз.
Очень важным параметром элементарной конъюнкции является количество этих логических переменных. Количество переменных входящих в элементарную конъюнкцию называется её рангом
Qi(n) – обозначение
Конъюнкция тождественно равная единице считается элементарной конъюнкцией нулевого ранга. Для проведения эквивалентных преобразований формул логических функций применяют понятия соседних и изолированных конъюнкций.
Элементарные конъюнкции называются соседними, если существует некоторая переменная, которая в одну конъюнкцию входит в прямом виде, а в другую конъюнкцию входит в инверсном виде.
Qi(n) =Xi * Qi(n-1) = XiQi(n-1)
Q
j(n)
=
Xi
*
Qj(n-1)
=
XiQj(n-1)
Пример:
Q
1(4)
=X1
X2
X3
X4
=
X2*X1
X3
X4
=X2
Q(3)
Q2(4) =X1 X2 X3 X4 =X2*X1 X3 X4 = X2 Q(3)
Изолированная конъюнкция
Конъюнкция называется изолированной по отношении некоторого множества конъюнкций, если внутри этого множества нет ни одной конъюнкции с соседними данными.
Очень важным понятием является дизъюнктивная нормальная форма логической функции. Под дизъюнктивной нормальной формой понимают логическое сложение элементарных конъюнкций.
F=Q v Q1 v … v Qn
П
ример:
Пусть дана некая функция четырёх
переменных, приведём эту функцию в
дизъюнктивную нормальную формулу.
Проведём эквивалентные преобразования.
F
(X1,
X2,
X3,
X4)
= (X1
* X2)
* (X3
v
X4)
= (X1
v
X2)
* (X3
* X4)
= X1
* X3
* X4
v
X2
* X3
* X4
Q1 Q2
Из всего множества формул, представляющих данную функцию, существует лишь одна формула, которая называется совершенной.
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой называется такая дизъюнктивная нормальная форма, которая обладает следующими свойствами:
1. В ней нет одинаковых слагаемых, то есть одинаковых элементарных конъюнкций.
2. Ни одно слагаемое не содержит двух одинаковых множителей.
3. Никакое слагаемое не содержит двоичную переменную вместе с её отрицанием.
4. Каждое слагаемое обязательно содержит весь набор используемых переменных, но при этом переменная может быть либо в прямом, либо инверсном виде.
Алгоритм приведения формулы логической функции к совершенной дизъюнктивной нормальной форме
1. Формула приводится, к какой либо дизъюнктивной нормальной форме.
2. Обеспечивается выполнение условия 4. Конъюнкции, не содержащие всех переменных, дополняются до их полного числа соседними элементарными конъюнкциями.
3. Из полученной дизъюнктивной нормальной формы удаляются элементарные конъюнкции, тождественно равные или лишние.
Пример: Привести формулу к совершенной дизъюнктивной форме.
F (X1, X2, X3) = X1 * X2 v X1 * X2 * X3 v X1 * X2
Обеспечим выполнение условия 4
X 1 * X2= X1 * X2 * X3 v X1 * X2 * X3
X 1 * X2= X1 * X2 * X3 v X1 * X2 * X3
Подставим полученные выражения в исходную формулу.
F
(X1,
X2,
X3)
= X1
* X2
* X3
v X1
* X2
* X3
v X1
* X2
* X3
v X1
* X2
* X3
v
X1
* X2
* X3=
=
X1
* X2
* X3
v X1
* X2
* X3
v X1
* X2
* X3
v X1
* X2
* X3
СДНФ