Определение числа логических функций
Каждому возможному сочетанию истинных значений аргументов, соответствует истинное значение функции. Пусть мы имеем число переменных «n», тогда число возможных наборов этих элементов k=2n. Для каждого набора переменных, функция может иметь значения либо 0, либо 1.
Если мы имеем один аргумент n=1, то М=4
Х |
F1 |
F2 |
F3 |
F4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Ф
ункции
F1
и
F4
не зависят от значений аргумента. Функция
F1
– это константа логического нуля, а
функция F4
– это функция логической единицы. F2=Х;
F3=Х.
Х1 |
Х2 |
F5 |
F6 |
F7 |
F8 |
F9 |
F10 |
F11 |
F12 |
F13 |
F14 |
F15 |
F16 |
F17 |
F18 |
F19 |
F20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Функция F5≡ 0, F20≡1
F6 = X1&X2
F12= X1vX2
F 14=X1~X2
F11=X1 X2
F 19= X1&X2= X1 | X2 – штрих Шеффера
F13= X1vX2= X1 ↓ X2 – стрелка Пирса
Значение логических функций и преобразованных логических выражений могут быть проверены с помощью таблиц истинности.
Основные законы алгебры логики
Эти законы устанавливают эквивалентность логических форм.
1. Переместительный закон.
X1vX2= X2vX1
2. X1&X2= X2&X1
3. (Х1vX2)vX3=Х1v(X2vX3)
4. (Х1*X2)*X3=Х1*(X2*X3)
5. Х1*(X2vX3)=Х1*X2vX1*X3
Первые пять законов алгебры логики полностью соответствуют законам обычной алгебры, то есть в алгебре логики, как и в обычной алгебре, действие логического умножения предшествует действие логического сложения.
6.
Х1v(X2*X3)
(Х1vX2)*(Х1vX3)
7
.
Закон инверсии для логического сложения
Х
1vX2
Х1*X2
8. Х1*X2 Х1vX2
9 . Закон двойного отрицания:
Х Х
Проверить равносильность этих формул можно с помощью таблицы истинности.
Следствие из основных законов алгебры логики. Запишем ряд всегда справедливых логических формул:
Х v1 1
ХvХ 1
Х&0 0
Х &X 0
Х&1 X
Хv0 0
Х*Х*Х*…*Х X
ХvХvХv…vХ X
Формы логических функций
В алгебре логики, логическая функция представляется некоторой логической формулой. С учётом основных законов и их следствий видно, что формулы могут иметь разный вид, но они будут между собой эквивалентны, чтобы можно было сравнить между собой логические функции, их формулы приводят к некоторому единообразному виду и эти формулы называются нормальными формами логических функций.
Д
ля
представления этих форм используются
понятия элементарных конъюнкций. Под
элементарной конъюнкцией понимается
такая конструкция формул, которая
состоит из логического произведения
переменных в прямом или инверсном виде.
Qi = Х1*Х2*Х3*Х4*Х5 (*)
Число переменных входящих в элементарную конъюнкцию; называются рангом данной конъюнкции. В приведённом примере (*) конъюнкция имеет 5 ранг.