Лекция № 5
Граф называется простым, если он не содержит петель и параллельных рёбер
Граф не имеющий рёбер называется пустым.
Граф не имеющий вершин (соответственно и рёбер) называется нуль графом.
Граф может быть представлен рисунком, в котором вершина представляется в виде точки или кружка, а ребро представляется отрезком линии, содержащей эти вершины.
U1 e1 U2
V = U1, U2, U3, U4, U5, U6
E = e1, e2, e3, e4, e5
e 1 = (U1, U2) U1 e2 U4
e
2
= (U1,
U4)
e
3
= (U5,
U6)
e1
e4
e3
e 4 = (U1, U2)
e5 = (U5, U5) U2 U6 U3
В приведённом примере е1 и е4 параллельные рёбра, е5 – петля.
U3 – изолированная вершина.
Говорят, что ребро инцидентно своим вершинам.
Две вершины называются смежными, если являются концевыми вершинами одного и того же ребра.
Два ребра называются смежными, если они имеют одну общую концевую вершину.
Степенью вершин называется число инцидентных этой вершине рёбер.
Вершина со степенью единица называется «висячей» вершиной. Вершины U4 и U6 – «висячие» вершины.
Вершина со степенью «0» называется изолированной вершиной.
По определению петля в графе при вершине Ui добавляет в степень этой вершины число 2.
Маршруты, цепи, пути и циклы
Маршрут в графе представляет собой конечную, чередующуюся последовательность вершин и рёбер, которые начинаются и заканчиваются на вершинах.
M1: U1, e1, U2, e4, U1, e2, U1
M2: U5, e3, U6, e3, U5, e5, U5
Маршрут называется открытым, если его концевые вершины различны, в противном случае маршрут называется замкнутым.
Цепью называется такой маршрут, когда все его рёбра различны.
Цепь называется открытой, если её концевые вершины различны, в противном случае она называется замкнутой. М1 он же и есть цепь, открытая поскольку вершины U1 и U4 различны.
Путём в графе называется такая цепь, если все её вершины различны.
P1: U2, e1, U1, e2, U4
Циклом называется замкнутая цепь, если различны все её вершины за исключением концевых вершин.
C1: U1, e1, U2, e4, U1
Длиной пути называется число рёбер этого пути.
Операции над графами
Рассмотрим графы:
G1 = (V1, E1)
G2 = (V2, E2)
1. Объединение графов G1 U G2=G3
G3 = (V1 U V2, E1 U E2)
G1
G2
U1 e2 U4 e5
e1 e4 e3 e6
U2 U6 U3
G3 e5
U1 e2
e1 e4 e3 e6
U2 U6 U3
2. Пересечение графов
G1 ∩ G2=G3
G3 = (V1 ∩ V2, E1 ∩ E2)
Одновременно
V1 V2
V1 ∩ V2
3. Удаление вершины.
Если удаляется некая Ui вершина из графа, то удаляются все рёбра инцидентные этой вершине.
4. Удаление ребра.
При удалении некоторого ребра ei из графа, конечные вершины этого ребра не удаляются.