Розвинення функцій в ряди Тейлора та Лорана. Особливі точки. Лишки

Функція , аналітична у внутрішніх точках круга , може бути представлена у цьому крузі збіжним степеневим рядом , який називається рядом Тейлора.

Для елементарних функцій комплексної змінної зберігаються розвинення у ряди Тейлора та Маклорена, отримані для функцій дійсної змінної:

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, тощо.

Якщо функція є аналітичною у кільці , то вона може бути представлена у точках цього кільця своїм рядом Лорана

,

де , , інтегрування виконується вздовж кола , .

Радіуси та зв’язані з коефіцієнтами Лорана співвідношеннями

та .

Точка називається ізольованою особливою точкою функції , якщо не визначена, та існує окіл , в якому функція є аналітичною. Особлива точка називається

• усувною, якщо існує скінчений ;

• полюсом, якщо ;

• істотно особливою точкою, якщо не існує.

Число називається порядком нуля функції в точці , якщо функція аналітична в точці , , та . Якщо точка є нулем порядку для функції , то вона є полюсом порядку для функції . Зокрема, число є полюсом порядку для функції , якщо .

Якщо особлива точка є усувною, всі коефіцієнти головної частини відповідного ряду Лорана дорівнюють нулю, у випадку полюса порядку мають місце умови , , нарешті, для істотно особливої точки існує нескінченна множина відмінних від нуля коефіцієнтів головної частини ряду Лорана.

Лишком функції відносно скінченої точки називається величина

,

де – будь-яке додатно орієнтоване коло , яке лежить в кільці збіжності ряду Лорана.

Якщо точка є точкою аналітичності функції або її усувною особливою точкою, то .

Лишок в простому полюсі обчислюють за формулами

або

, де , причому .

Якщо – кратний полюс порядку , то

.

Для обчислення лишків в істотно особливих точках знаходять коефіцієнт ряду Лорана інтегруванням або за допомогою відомих розвинень функцій у степеневі ряди.

Основна теорема про лишки. Якщо функція є аналітичною у замкненій області за винятком скінченої кількості особливих точок , ,… , які лежать усередині , то

.

Операційне числення

Операційний метод – це специфічний спосіб розв’язування різних математичних задач, в першу чергу, диференційних рівнянь. Він базується на застосуванні інтегральних перетворень, зокрема, перетворення Лапласа, та складається з таких етапів:

1) від шуканої функції переходять до функції комплексної змінної, яку називають зображенням шуканої функції;

2) над зображенням виконують операції, які відповідають заданим операціям над шуканою функцією, – отримують так зване операторне рівняння для зображення ;

3) операторне рівняння розв’язують відносно ;

4) від отриманого зображення переходять до оригіналу, який є шуканою функцією.

Інтегральне перетворення Лапласа

Розглянемо функцію дійсної змінної , яка відповідає таким умовам:

1. При .

2. При функція на будь-якому скінченному проміжку вісі має не більше ніж скінченну кількість точок розриву першого роду.

3. При функція має обмежену степінь зростання, тобто існують такі додатні константи та , що для всіх

.

Інтегральне перетворення Лапласа ставить у відповідність такій функції

функцію комплексної змінної за допомогою співвідношення

.

Функція називається зображенням Лапласа функції , а функція – оригіналом функції . Зв’язок між функціями та будемо символічно позначати таким чином:

.