Комплексні числа та дії над ними

Комплексним числом називається впорядкована пара дійсних чисел . Число називається дійсною частиною комплексного числа та позначається , називається уявною частиною та позначається . Операції додавання та множення комплексних чисел виконуються за такими правилами:

;

.

Будемо вважати, що дійсні числа є частинним випадком комплексних чисел. Якщо ототожнити дійсне число з комплексним числом та назвати пару числом – уявною одиницею, то число можна записати у вигляді

.

Така форма запису комплексного числа називається алгебраїчною, а дії додавання та множення з числами в алгебраїчній формі зводяться до стандартних перетворень з урахуванням рівності .

Число називається числом, спряженим до числа . Добуток спряжених комплексних чисел є дійсним числом :

.

Ділення комплексних чисел виконується шляхом домноження числівника та знаменника дробу на число, спряжене до знаменника:

.

Геометричним образом комплексного числа є точка на координатній площині з відповідними декартовими координатами. Полярні координати цієї точки також є важливими характеристиками комплексного числа. Відповідний полярний радіус називається модулем комплексного числа, а полярний кут – його аргументом:

, .

Дійсна та уявна частини комплексного числа зв’язані з його модулем та аргументом співвідношеннями , .

Як відомо, кожній точці координатної площини відповідає безліч значень полярного куту, які відрізняються одне від одного на , де – ціле число.

Для однозначного визначення аргументу комплексного числа будемо обирати його з певного проміжку довжиною . Таке значення аргументу називається його головним значенням та позначається . Будемо вважати, що належить проміжку (досить часто також використовують проміжок ).Тоді модуль та головне значення аргументу комплексного числа доцільно обчислювати за формулами

;

або .

З урахуванням наведених вище співвідношень комплексне число можна представити у вигляді

.

Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною, а множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за формулами

;

;

.

З урахуванням формули Ейлера комплексне число може бути записано у показниковій формі

.

Якщо комплексні числа записані у показниковій формі, то дії множення, ділення та піднесення до натурального степеня виконуються за правилами

;

;

.

Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке число, -ий степінь якого дорівнює . Обчислення кореня виконується за формулою

, ,

тобто корінь -го степеня має значень.

Функції комплексної змінної

Якщо задано закон , згідно з яким кожному значенню , яке належить множині , відповідає певне значення , то кажуть, що задана однозначна функція , яка визначена на та набуває значень в . Якщо значенню відповідає декілька значень , то функція є багатозначною.

Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді

,

де та – функції дійсних змінних та .

Існування границі функції комплексної змінної еквівалентне одночасному існуванню границь дійсної та уявної частин та . Аналогічно неперервність функції у точці еквівалентна неперервності функцій та у точці .

Функція, неперервна у кожній точці області , називається неперервною у цій області.

Елементарні функції комплексної змінної. Введемо показникову функцію комплексної змінної за правилом

.

Тригонометричні та гіперболічні функції зв’язані з показниковою співвідношеннями

; ; ; ;

. ; .

Функції, які введені за цими формулами, по-перше, для дійсних значень аргумента співпадають з відповідними функціями дійсної змінної, та, по-друге, зберігають всі властивості функцій дійсної змінної.

Також є очевидними властивості

; ; ; .

Функції , , , визначають як обернені до функцій , , , відповідно. Зокрема,

, ,

а головне значення логарифмічної функції визначається як

(величина є функцією дійсного аргументу).