2.3. Задача распределения кредита предприятиям с целью получения максимальной прибыли по процентам

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:

Коммерческие банки на различный срок возмещения выделяют кредиты предприятиям под процент с целью получения для себя максимальной прибыли от процентов. Выделяемая сумма кредита банками a_i, потребность предприятий в кредите b_j (млн. ден. ед.).

ТРЕБУЕТСЯ:

1) построить экономико-математическую модель задачи по распределению кредита банками предприятиям с целью получения максимальной прибыли по процентам;

2) методом потенциалов найти оптимальное распределение кредитов, максимизирующее общую прибыль, получаемую банками от предприятий;

3) указать предприятия, которые недополучат кредит, а также его сумму;

4) найти оптимальное распределение кредитов, максимизирующее общую прибыль от процентов при условии, что предприятию B_k кредит выделяет банк A_l.

Исходные данные при m = 3, n = 4:

a1	a2	a3	b1	b2	b3	b4	c11	c12	c13	c14
300	280	420	270	210	300	340	20	17	21	19

c21	c22	c23	c44	c31	c32	c33	c34	l	k
18	16	22	15	14	12	13	23	2	3

Решение.

1. Введем неизвестные X_ij (i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n) – сумма кредита, выделяемая банком A_i предприятию B_j. Суммарная прибыль по процентам пропорциональна выражению , которое можно считать целевой функцией задачи. Ограничения на X_ij определяются выделяемыми банками суммами и потребностями предприятий в кредитах. В результате получаем математическую модель в виде следующей задачи линейного программирования:

≤ a_i , (i = 1, 2, …, m), ≤ b_j , (j = 1, 2, …, n), X_ij ≥ 0.

2. Общая сумма кредитов, выделяемых банками равна a = a₁ + a₂ + a₃ = 300 + 280 + 420 =1000. Суммарная потребность в кредитах составляет

b = b₁ + b₂ + b₃ + b₄ = 270 + 210 + 300 + 340 = 1120.Так как a < b вводим фиктивный банк A₄ с суммой кредита a₄ = b – a = 120 и с процентными ставками . Тогда задачу по распределению кредитов банками предприятиям можно записать в виде распределительной матрицы (таблица 2.3.1):

Таблица 2.3.1

Банки	Предприятия				ai	ui
	B1	B2	B3	B4
A1	20 270	17 10	21 20	19 28	300	0
A2	18 19	16 16	22 280	15 27	280	-1
A3	14 15	12 80	13 16	23 340	420	-5
A4	0 3	0 120	0 4	0 11	120	-17
bj	270	210	300	340	1120	–
vj	20	17	21	28	–	–

В правых верхних углах клеток таблицы 1 помещены соответствующие процентные ставки. Решение модели сводится к заполнению таблицы 1 ненулевыми значениями неизвестных X_ij с последующей проверкой оптимальности. X_ij следует задавать так, чтобы сумма значений неизвестных в строке совпала с кредитом, выделяемым банком, а в столбце – с потребностью предприятия в кредите. Для получения распределения, близкого к оптимальному, применим метод максимального элемента, т.е. в первую очередь заполняем по максимуму клетки с наибольшей процентной ставкой. Последовательность заполнения таблицы 2.3.1: в клетку (3; 4)с наибольшей процентной ставкой ставим 340; клетка (2; 3) – 280; клетка (1; 3) – 20; клетка (1; 1) – 270. При этом предприятиями B₁, B₃, B₄ кредиты получены в полном объеме. Для B₂ осталось (1; 2) – 10; (3; 2) – 80; (4; 2) – 120. Указанные клетки считаем занятыми, остальные – свободными. Полученный план распределения невырожденный, так как содержит m + n – 1 = 4 + 4 – 1 = 7 занятых клеток (m и n – число строк и столбцов распределительной матрицы).

Для проверки оптимальности полученного плана введем потенциалы u_i и v_j строк и столбцов распределительной матрицы. Для занятых клеток сумма потенциалов должна совпадать с процентной ставкой. В связи с этим получаем 7 уравнений с 8-ю неизвестными потенциалами:

u₁ + v₁ = 20, u₁ + v₂ = 17, u₁ + v₃ = 21, u₂ + v₃ = 22,

u₃ + v₂ = 12; u₃ + v₄ = 23; u₄ + v₂ = 0.

Полагая, например, u₁ = 0, последовательно находим: v₁ = 20, v₂ = 17, v₃ = 21, u₂ = -1, u₃ = -5, v₄ = 28, u₄ = -17. Значения потенциалов записаны в дополнительном столбце и в дополнительной строке таблицы 2.3.1. Для оптимальности распределения необходимо и достаточно, чтобы суммы потенциалов в свободных клетках были не меньше процентных ставок. В левых нижних углах свободных клеток таблицы 1 записаны суммы соответствующих потенциалов. Все они не меньше процентных ставок, т.е. план распределения кредитов, определяемый таблицей 2.3.1 оптимален.

3. Кредиты, получаемые от фиктивного банка A₄, означают недополучение. В данном случае недополучит кредит в размере 120 только предприятие B₂.

4. Рассмотрим случай, когда предприятию B₃ кредит выделяет банк A₂. В этом случае полагаем X₂₃ = 280 и исключаем из рассмотрения банк

A₂ и предприятие B₃. При этом сумму кредита фиктивного банка A₄ уменьшаем на 20, т.е. полагаем равной 100, так как предприятие B₃ уже недополучит кредит в размере 20 ед. В таблице 2.3.3 приведен план распределения кредитов, полученный методом максимального элемента.

Таблица 2.3.3

Банки	Предприятия
	B1	B2	B4		ai	ui
A1	20 270	17 30	19 28		300	17
A3	14 15	12 80	23 340		420	12
A4	0 3	0 100	0 11		100	0
bj	270	210	340		820	–
vj	3	0	11		–	–

Этот план невырожденный, так как содержит m + n – 1 = 3 + 3 – 1 =5 занятых клеток. Система уравнений для нахождения потенциалов:

u₁ + v₁ = 20, u₁ + v₂ = 17, u₃ + v₂ = 12, u₃ + v₄ = 23, u₄ + v₂ = 0.

Полагая v₂ = 0, последовательно находим: u₁ = 17, u₃ = 12, u₄ = 0, v₁ = 3, v₄ = 11. Подсчитываем суммы потенциалов для незанятых клеток и помещаем их в левые нижние углы этих клеток. Из таблицы 2.3.3 видно, что все суммы превосходят процентные ставки, т.е. план распределения, заданный таблицей 2.3.3, оптимальный.

Ответ:

2) X₁₁=270; X₁₂=10, X₃₂=80; X₁₃=20, X₂₃=280; X₃₄=340.

Например, X₁₂ = 10 означает, что банк A₁ для предприятия B₂ выделяет кредит в размере 10 ед. и т. д.

3) X₄₂=120 означает, что предприятие B₂ недополучит кредит в размере 120 ед.

4) X₂₃=280; X₁₁=270; X₁₂=30, X₃₂=80; X₃₄=340.