1.4. Особенности математического моделирования экономических систем
Как свидетельствует экономическая теория, в экономике действуют устойчивые количественные закономерности, поэтому возможно их строго формализованное математическое описание, построение математических моделей.
Можно отметить две особенности экономики как объекта моделирования:
1. В экономике невозможны физические модели, построенные на основе подобия, которые применяются в технике.
2. В экономике крайне ограничены возможности локальных экономических экспериментов, поскольку все ее части жестко взаимосвязаны друг с другом и, следовательно, «чистый» эксперимент невозможен.
Прямые эксперименты с экономикой имеют как положительную, так и отрицательную сторону. Положительная сторона состоит в том, что сразу видны краткосрочные результаты проводимой экономической политики. Отрицательный момент заключается в том, что очень трудно предсказать долгосрочные последствия принимаемых экономических решений. Предвидеть такие последствия можно лишь на основе концептуальных моделей развития экономики, опирающихся на прошлый опыт.
Любое экономическое исследование предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Теоретические модели используются для описания и объяснения наблюдаемых процессов; эмпирическое построение и обоснование модели происходит на базе статистических данных.
Раздел 2
ЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
2.1. Основные линейные оптимизационные задачи и их решение в среде excel
Основными линейными оптимизационными задачами являются задача линейного программирования и транспортная задача.
а) Задача линейного программирования ставится следующим образом: найти максимум или минимум линейной функции n переменных
(2.1.1)
при ограничениях
(2.1.2)
Ниже приведен пример решения в среде Excel задачи линейного программирования.
Пример 2.1.1.
(min)
Решение.
A1:C1 – коэффициенты целевой функции, D1:F1 – переменные x1, x2, x3 (резервируем пустые ячейки), A3:C4 – коэффициенты левых частей ограничений, D3 – целевая функция f, E3:E4 – ограничения.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
1 |
1 |
3 |
1 |
2 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
4 |
3 |
2 |
12 |
|
4 |
3 |
-2 |
1 |
|
6 |
|
В ячейке D3 задаём целевую функцию:
= СУММПРОИЗВ (A1:C1; D1:F1).
В ячейках E3,E4 задаём левые части ограничений:
= СУММПРОИЗВ (A3:C3; D1:F1).
= СУММПРОИЗВ (A4:C4; D1:F1).
Открываем «Сервис», «Поиск решения», задаём сценарий:
Установить целевую ячейку: выделяем ячейку D3
Равной: минимальному значению
Изменяя ячейки (т. е. изменяя переменные x1, x2, x3):
выделяем ячейки D1:F1
Ограничения (каждое задаётся через кнопку «Добавить»):
D1:F1>=0
E3<=12
E4>=6.
Кнопка «Выполнить» показывает результат. Кнопка «ОК» закрывает окно «Результаты поиска решения».
Из диапазона D1:F1 выписываем ответ: (2; 0; 0), min f = 2 (в ячейке D3).
б) Транспортную задачу можно поставить следующим образом. В пунктах A1, A2,..., Am хранится однотипная продукция в количествах a1, a2,..., am . Ее следует развести потребителям B1, B2,..., Bn, потребности которых составляют b1, b2,…, bn. Известны стоимости (прибыли) Ci j доставки единицы продукции из пункта Ai потребителю Bj. Требуется так спланировать перевозки, чтобы суммарные транспортные издержки (прибыли) были минимальны (максимальны).
Для решения
поставленной задачи вводятся неизвестные
Хi
j
количество продукции, доставляемое из
пункта Ai
потребителю Bj
(i=1,
2,...,m;
j=1,
2,...,n).
Из элементов Хi
j
можно составить матрицу Х,
называемую распределительной
матрицей.
Математическая модель задачи принимает
вид (при условии
):
(2.1.3)
Если
,
то вводим фиктивный пункт Am+1
с количеством продукции
и Cm+1
j=0;
если же a
> b,
то вводим
фиктивного потребителя с bn+1
=a–b
и Ci
n+1=0.
Пример 2.2.2 (решения транспортной задачи в среде Excel).
На складах А1, А2, А3 хранится а1=100, а2=200, а3=120 единиц груза. Требуется доставить трём потребителям b1=190, b2=120, b3=60 единиц груза, максимизируя прибыль от сделки. Данную задачу можно задать с помощью распределительной матрицы. На пересечении строк и столбцов стоят прибыли (ден. ед.) от реализации одной единицы груза со складов потребителям.
|
B1 |
B2 |
B3 |
ai |
A1 |
1 |
7 |
1 |
100 |
A2 |
5 |
9 |
6 |
200 |
A3 |
3 |
2 |
8 |
120 |
bj |
190 |
120 |
60 |
|
Т.к.
,
вводим фиктивного потребителя B4
с потребностью b4=(100+200+120)–(190+120+60)=420-370=50
единиц и нулевыми тарифами.
Решение.
A1:D3 – матрица тарифов, Е1:Н3 – план перевозок ( зарезервированы пустые ячейки), I1 – целевая функция F, J1:J3 – ограничения по строкам,
E5:H5 – ограничения по столбцам.
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
H |
I |
J |
1 |
1 |
7 |
1 |
0 |
0 |
50 |
0 |
50 |
2290 |
100 |
2 |
5 |
9 |
6 |
0 |
130 |
70 |
0 |
0 |
|
200 |
3 |
3 |
2 |
8 |
0 |
60 |
0 |
60 |
0 |
|
120 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
190 |
120 |
60 |
50 |
|
|
В ячейке I1 задаём целевую функцию:
= СУММПРОИЗВ (A1:D3; E1:H3).
В ячейку J1 вводим формулу:
= СУММ (E1, H1) и копируем её в ячейки J2, J3 (протягиваем).
В ячейку Е5 вводим формулу:
= СУММ (Е1:Е3) и копируем её в ячейки F5:H5.
Открываем «Сервис», «Поиск решения», задаём сценарий:
установить целевую ячейку: I1; равной: максимальному значению;
изменяя ячейки: E1:H3; ограничения:
E1:H3>=0; E5=190; F5=120; G5=60; H5=50; J1=100; J2=200; J3=120.
После «Выполнить» в диапазоне E1:H3 появится оптимальный план перевозок. Fmax = 2290.
Ответ: для получения максимальной прибыли в 2290 ден. ед.: потребитель B1 должен получить 130 ед. груза со склада A2 и 60 ед. со склада A3 ; потребитель B2 должен получить 50 ед. груза со склада A1 и 70 ед. со склада A2 ; потребитель B3 должен получать весь груз (60 ед.) со склада A3.