1.3. Основные этапы математического моделирования

I. Постановка задачи. На этом этапе обычно производится словесное определение цели исследования, выделяется исследуемый объект среди других подобных объектов, определяется уровень требований на соответствие модели исходному объекту, устанавливаются необходимые для исследования силы, средства и время.

Человека или организацию, заинтересованных в создании новой математической модели, для краткости будем называть заказчиком. После принятия решения о необходимости создания новой математической модели заказчик ищет исполнителя своего заказа. В качестве исполнителя, как правило, может выступать рабочая группа, включающая специалистов разного профиля: прикладных математиков, специалистов, хорошо знающих особенности объекта моделирования, программистов.

Если решение о создании модели принято, и рабочая группа сформирована, то можно приступать к обследованию исходного объекта, основная цель которого состоит в подготовке содержательной постановки задачи моделирования.

II. Системный анализ предполагает рассмотрение исследуемого объекта как некоторой системы, имеющей определенную внутреннюю структуру и внутренние связи и могущей функционировать по своим внутренним законам. На этом этапе обычно решаются следующие задачи: 1) расчленение исходного объекта на отдельные элементы; 2) выделение среди всех элементов наиболее существенных (несущественные элементы из рассмотрения временно опускаются); 3) выделение общих связей и взаимодействий, характерных сразу для всех элементов системы, а также локальных связей между отдельными элементами системы; 4) определение законов, по которым осуществляются эти связи и взаимодействия.

III. Математическая формализация модели обычно включает в себя: 1) выбор единиц измерения существенных с точки зрения исследователя параметров и элементов исходного объекта; 2) количественное измерение (описание) элементов объекта в своих единицах измерения; 3) математическая запись законов, которым подчиняются связи между элементами системы; 4) составление математической целевой функции (если исследуемая математическая модель является оптимизационной).

IV. Проверка полноты, логической и математической непротиворечивости модели: 1) сравнение количества уравнений в системе с количеством неизвестных и определение числа степеней свободы системы; 2) выявление среди уравнений и соотношений зависимых (вытекающих друг из друга) и противоречащих друг другу математических соотношений; 3) проверка корректной разрешимости (если построенная модель попадает в уже исследованные классы моделей) или доказательство корректной разрешимости (если построенная модель новая). Под корректной разрешимостью задачи понимается существование и единственность решения этой задачи.

Результат этапов III, IV  построенная математическая модель исходного объекта.

V. Поиск и анализ решений математической модели исходного объекта. На этом этапе выбирается метод решения, производится точное или приближенное построение решения.

VI. Проверка адекватности модели исходному объекту может включать в себя: 1) проверку соответствия полученных решений с требуемой степенью точности результатам натурных экспериментов; 2) проверку на предмет удовлетворения полученных результатов физическим законам функционирования исходного объекта; 3) проверку выполнения дополнительных условий поведения решений (если таковые заданы в постановке задачи).

VII. Практическое использование модели может включать в себя: 1) составление методических разработок о построенной модели для последующего обучения и фиксации полученного знания об исходном объекте; 2) составление прогнозов характеристик объекта при таких значениях параметров, при которых проведение натурных экспериментов над объектом невозможно или нецелесообразно; 3) перевод реального исходного объекта в такое состояние, при котором достигается наиболее оптимальное его функционирование при найденных в п. V значениях параметров; 4) выявление новых свойств исходного объекта.