8.3. Оптимизация сетевого графика по времени

Как было показано выше: расчет параметров сетевого графика проекта позволяет выявить критические работы, определяющие ход выполнения всего комплекса работ, продолжительность его реализации, резервы времени событий и работ и проанализировать, можно ли его использовать в качестве плана выполнения работ. Однако практические задачи не ограничиваются ответами на поставленные выше вопросы. Помимо перечисленных, ставятся задачи улучшения параметров сетевого графика с учетом сроков выполнения работ, рационального использования материальных, трудовых и денежных ресурсов, т.е. возникают различные задачи по оптимизации сетевых графиков. В этом пункте будут рассмотрены задачи оптимизации сетевых графиков по времени с использованием дополнительных средств.

Пусть задан срок выполнения проекта t₀, а расчетное значение t_кр> t₀. В этом случае оптимизация комплекса работ сводится к сокращению продолжительности критического пути, которое может быть осуществлено либо за счет перераспределения внутренних резервов, либо за счет привлечения дополнительных средств.

а) Оптимизация проекта по вложению дополнительных средств при фиксированном сроке выполнения

Задача данного вида заключается в определении величины дополнительных вложений x_ij в отдельные работы проекта с тем, чтобы общий срок его выполнения не превышал заданной величины t₀, а суммарный расход дополнительных средств был минимальным.

Пусть задан сетевой график выполнения проекта. Продолжительность каждой работы равна t_ij. Известно, что вложение дополнительных средств x_ij в работу сокращает время ее выполнения до , причем , где k_ij – технологические коэффициенты использования дополнительных средств. Но сокращение продолжительности работы не беспредельно, для каждой работы существует минимально возможное время ее выполнения d_ij. Требуется определить количество дополнительных средств x_ij, которые необходимо вложить в работы , а также время начала и окончания выполнения этих работ, чтобы проект был выполнен в срок t₀, а суммарные дополнительные затраты были минимальными.

Математическая модель задачи следующая:

(8.3.1)

(8.3.2)

(8.3.3)

(8.3.4)

для всех (8.3.5)

(8.3.6)

Ограничение (8.3.2) определяет время завершения проекта, оно должно быть не больше заданного t₀. Ограничения (8.3.3) показывают, что продолжительность каждой работы должна быть не меньше ее минимально возможной продолжительности. Ограничения-равенства (8.3.4) показывают зависимость продолжительности каждой работы от вложенных в нее дополнительных средств. Ограничения (8.3.5) обеспечивают выполнение условий предшествования работ: время начала выполнения каждой работы должно быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующих ей работ.

Пример 8.3.1. Проект представлен сетевым графиком (рис. 8.3.1).

Рис. 8.3.1

Параметры проекта приведены в таблице.

Таблица 8.3.1

Параметры	Работа
	(1,2)	(1,3)	(2,3)	(2,4)	(3,5)	(4,5)
tij	4	5	3	4	3	4
dij	2	3	2	3	1	3
kij	0,1	0,2	0,3	0,5	0,1	0,4

Здесь: t_ij  продолжительность работы (i, j);

d_ij  минимальное время ее выполнения;

k_ij  технологический коэффициент использования дополнительных средств.

Определить величину дополнительных средств x_ij, вложенных в работу , чтобы срок выполнения проекта не превышал заданной величины временных единиц, а суммарный расход дополнительных средств был бы минимальным. Время выполнения каждой работы должно быть не менее d_ij.

Решение.

Для исходных данных . Математическая модель (8.3.1) (8.3.6) при параметрах данной задачи будет иметь вид:

 целевая функция; (8.3.1)

условия, ограничивающие время выполнения проекта 10 ед. времени:

(8.3.2)

условия, требующие выполнения каждой работы за время, не меньшее минимально возможного времени d_ij:

(8.3.3)

зависимость продолжительности работ от вложенных в них средств x_ij:

(8.3.4)

требования своевременного выполнения всех предшествующих работ:

(8.3.5)

требования неотрицательности переменных:

(8.3.6)

После решения задачи на ПЭВМ симплекс-методом получим:

.

Вывод. Таким образом, чтобы выполнить все работы проекта за время, не превышающее временных единиц, необходимо вложить дополнительных единиц средств, при этом средства распределятся в следующем порядке: в работу (2,4) необходимо вложить 2 дополнительные единицы средств, в работу (4,5) – 2,5. Остальные работы проекта не потребуют дополнительных вложений.

При этом время выполнения работы (2,4) сократится на 1 единицу времени (с четырех до трех единиц времени), время выполнения работы (4,5) – также на 1 единицу времени (с четырех до трех единиц времени). Общий срок выполнения проекта составит 10 временных единиц.

б) Оптимизация проекта по времени реализации при ограниченном вложении дополнительных средств

Задача данного вида заключается в сокращении срока выполнения проекта на сколько это возможно за счет вложения суммы дополнительных средств, не превышающей величины Р. Время выполнения каждой работы должно быть не меньше минимально возможного времени d_ij. Необходимо определить время начала и окончания каждой работы и величину дополнительных средств x_ij, которые нужно выделить на ускорение выполнения работы .

Математическая модель задачи следующая:

(8.3.7)

(8.3.8)

(8.3.9)

(8.3.10)

для всех (8.3.11)

(8.3.12)

Как видно, ограничения (8.3.3) – (8.3.6) математической модели задачи а) совпадают с ограничениями (8.3.9) – (8.3.12) математической модели задачи б). Заметим, что если в последнее событие сети N входят сразу несколько работ, то необходимо добавить фиктивную работу (N,N+1), время выполнения которой равно нулю, т.е. . Тогда целевая функция (8.3.7) примет вид:

Пример 8.3.2. По начальным данным примера 8.3.1 требуется оптимизировать сетевой график по времени таким образом, чтобы время выполнения проекта было минимальным, а сумма дополнительных вложенных средств не превысила единицы.

Решение. Для решения поставленной задачи требуется определить время начала и окончания каждой работы и величину дополнительных средств x_ij, которые нужно выделить на ускорение выполнения работы .

Так как в последнее событие входят сразу две работы (3,5) и (4,5), то добавим на сетевом графике новое завершающее событие проекта и фиктивную работу (5,6), время выполнения которой равно нулю, т.е. то сетевой график модели примет вид (рис.8.3.2).

Математическая модель задачи будет следующая:

 целевая функция (8.3.7)

(8.3.8)

Ограничения, необходимые в связи с введением фиктивной работы:

; ; .

Остальные ограничения данной задачи повторяют ограничения (8.3.3), (8.3.4), (8.3.5) и (8.3.6) решения примера 8.3.1.

Рис. 8.3.2

После решения задачи на ПЭВМ симплекс-методом получим:

Вывод. Таким образом, минимально возможное время выполнения проекта, при ограничении на дополнительные выделяемые средства в 4 единицы, составит 10,2 временных единиц. При этом средства распределятся в следующем порядке: в работу (2,4) необходимо вложить 2 дополнительные единицы средств, в работу (4,5) – также 2. Остальные работы проекта не получат дополнительных вложений.

При этом время выполнения работы (2,4) сократится на 1 единицу времени (с четырех до трех единиц времени), время выполнения работы (4,5) – на 0,8 единиц времени (с 4-х до 3,2 единиц времени). Общий срок выполнения проекта составит 10,2 временных единиц.