7.4. Некоторые многономенклатурные модели
Складские системы промышленных предприятий и торговых объединений содержат от нескольких десятков до нескольких тысяч наименований продукции и ресурсов. В процессе функционирования системы они могут вступать во взаимодействия, которые вызваны ограниченными размерами складских площадей, числом заказов, уровнем оборотных средств и т. д.
а) Модель раздельной оптимизации
Предположим, что производство функционирует с привлечением п видов ресурса, при этом в отношении каждого из привлеченных ресурсов действуют соглашения модели 7.2.1. При отсутствии взаимодействия между ресурсами затраты С в единицу времени на размещение и хранение запасов определяются функцией
.
(7.4.1)
Формула (7.4.1) представляет функцию п переменных, поэтому, используя известный алгоритм определения экстремума, можно получить оптимальные размеры заказа каждого вида ресурса
,
,
(7.4.2)
минимальные издержки в единицу времени
,
(7.4.3)
оптимальный интервал между поставками для каждого вида ресурса
,
. (7.4.4)
б) Модель раздельной оптимизации с ограничением на складские площади или величину оборотных средств
Предположим, что действуют условия модели 7.4.1.
Пусть общая
складская площадь ограничена величиной
причем для хранения единицы i-го
вида продукции требуется площадь
величиной
Тогда ограничение на складские площади
принимает вид
.
(7.4.5)
В ограничении
(7.4.5) обычно вводится нормировочный
множитель
для учета того фактора, что запасы
отдельных номенклатур могут поступать
независимо друг от друга. Если запасы
всех номенклатур пополняются одновременно,
то в это время запас и занятая им площадь
оказываются максимальными и
Полагая
допускаем, что запасы всех видов продукции
пополняются в разное время, а уровень
запасов и занятая ими площадь являются
средними. Маловероятно, что занятая
площадь окажется много меньше половины
имеющейся, поэтому целесообразно
принимать
.
С учетом сказанного ограничение (7.4.5)
примет вид
.
(7.4.6)
Для определения экстремума функции (7.4.1) при выполнении ограничения (7.4.6) можно использовать известный метод определения условного экстремума функции нескольких переменных – метод множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид
.
(7.4.7)
Данная функция
имеет
независимую переменную:
и
.
Система для определения стационарных
точек будет содержать
уравнение:
Система для определения и :
(7.4.8)
В зависимости от конкретного вида системы (7.4.8) выполняется ее решение. В общих случаях для решения систем данного вида используют методы дихотомии, золотого сечения, Фибоначчи.
Заметим, что неопределенный множитель Лагранжа в данном случае имеет конкретный экономический смысл. Он показывает, насколько можно сократить минимальные издержки функционирования системы в единицу времени, увеличив складские площади на единицу.
В случае, если
ограничения накладываются на величину
оборотных средств
,
вкладываемых в запасы, можно получить
задачу, решаемую аналогичным способом.
Если
– стоимость единицы продукции i-того
вида, тогда ограничение на оборотные
средства примет вид
.
Не останавливаясь на составлении функции Лагранжа, приведем систему для определения оптимальных размеров партий поставок:
Неопределенный множитель Лагранжа в данном случае показывает, на сколько денежных единиц уменьшатся затраты в системе, если оборотные средства увеличатся на одну денежную единицу.
в) Модель с полным совмещением заказов
При пополнении
запасов из одного источника целесообразным
представляется объединение нескольких
заказов. Суммарные издержки размещения
п
заказов считаются равными
,
где
– фиксированные издержки, не зависящие
от числа номенклатур, а
– доля издержек размещения заказа по
каждой номенклатуре. Период размещения
заказа по всем номенклатурам
будет общим. Издержки размещения заказа
и содержание запаса в единицу времени
можно считать функцией одной переменной . Тогда, использовав известные методы исследования на экстремум, получим
,
(7.4.9)
минимальные издержки в единицу времени
,
(7.4.10)
оптимальные размеры заказываемых партий
.
(7.4.11)
На практике задача минимизации суммарных издержек часто сопровождается необходимостью выполнения различных дополнительных ограничений. Например, при существовании ограничения на складские площади формула (7.4.5) может быть приведена к виду
(7.4.12)
а в случае наличия ограничения по оборотным средствам получим
(7.4.13)
Если в качестве
дополнительного ограничения присутствует
только одно из указанных, то решение
задачи осуществляется следующим образом.
Прежде всего, определяется оптимальный
период размещения заказа по формуле
(7.4.9). В случае, если полученное значение
удовлетворяет требуемому ограничению,
то задача считается решенной. В противном
случае оптимальный период поставок
определяется как значение
,
которое обращает дополнительное
ограничение в равенство. А именно, при
дополнительном ограничении на складские
площади
,
(7.4.14)
при дополнительном ограничении на оборотные средства
.
(7.4.15)
Пример 7.4.1.
Склад оптовой
торговли отпускает четыре вида товаров.
По каждому товару (
)
известны потребности
в течение года, издержки размещения
заказа
,
издержки хранения
,
потребность в складской площади на
единицу товара
(таблица 7.4.1). Общая складская площадь
составляет 4000 м2.
Таблица 7.4.1
-
Вид товара
, ед.
, ден.ед.
,
ден.ед.
, м2
1
7000
35
10
30
2
150
4
5
3
3
1500
5
6
4
4
130
6
2
2
Требуется:
в предположении, что все четыре вида продукции поступают на склад от разных поставщиков, определить оптимальные партии поставок, учитывая ограниченность складских площадей;
в предположении, что продукция поступает из одного источника, а издержки размещения представляют собой сумму средних индивидуальных издержек размещения заказа и 25 % издержек организации заказа по каждому виду продукции, определить оптимальные партии поставок, учитывая ограниченность складских площадей.
Решение.
Рассматривая случай раздельной оптимизации, оптимальные размеры партий поставок определим по формуле (7.4.2):
(ед.),
(ед.),
(ед.),
(ед.).
Оптимальные интервалы возобновления поставок определим по формуле (7.4.4):
(года),
(года),
(года),
(года).
Минимальные годовые издержки работы склада определим по формуле (7.4.3):
(ден.ед.).
Используя
неравенство (7.4.6) при
,
проверим выполнение ограничения на
складские площади:
.
Так как ограничение выполнено, то можно рассматривать данный вариант оптимизации в практическом приложении.
Рассмотрим случай, когда все виды продукции поставляются из одного источника. Определим издержки размещения заказа
(ден.
ед.).
Период размещения заказов по всем видам товаров составит
(года)
Минимальные
годовые издержки работы склада по
формуле (7.4.10) составят:
(ден.
ед.).
По формуле (7.4.12) определим, возможно ли в этом случае разместить всю заказанную партию товаров на имеющихся складских площадях:
.
Так как в этом
случае весь заказ разместить на имеющейся
площади невозможно, то уменьшим период
возобновления заказа, используя формулу
(7.4.14):
(года).
Оптимальный поставочный комплект:
(ед.),
(ед.),
(ед.),
(ед.).
Минимальные годовые издержки работы склада определим по формуле
(ден.
ед.).
Вывод. В случае поставки продукции от разных поставщиков минимальные годовые издержки на организацию заказа и хранение товара составят 2646,91 ден. ед., при этом в среднем оптимальный размер заказа состоит из 221,36 единицы товара первого вида, 15,492 – второго вида, 50 – третьего и 27,928 – четвертого. Заметим, что в этом случае складские площади могут обеспечить размещение заказов.
В случае поставки продукции от одного поставщика первоначальные расчеты определяют минимальные годовые издержки на организацию заказа и хранение товара в 2000,25 ден. ед., однако поступающий при этом товар не может быть размещен на имеющихся складских площадях. Необходимое уменьшение интервала поставок ведет к увеличению минимальных годовых издержек до 2092,77 ден. ед, при этом в среднем оптимальный размер заказа состоит из 129,22 единицы товара первого вида, 2,769 – второго вида, 27,69 – третьего и 2,3998 – четвертого.