5.3. Основные характеристики работы смо
Рассмотрим основные характеристики работы СМО с n обслуживающими устройствами и с числом мест в очереди, равным m.
1. Вероятность отказа. Поступающее требование получает отказ, если все обслуживающие устройства заняты и в очереди находится m требований. Очевидно,
(5.3.1)
2. Среднее число устройств, занятых обслуживанием, определяется, как математическое ожидание дискретной случайной величины:
(5.3.2)
3. Относительная пропускная способность определяется, как доля обслуженных требований от общего числа требований, поступающих в СМО:
(5.3.3)
4. Абсолютная пропускная способность есть среднее число требований, обслуживаемых за единицу времени:
(5.3.4)
5. Среднее число требований, ожидающих в очереди (средняя длина очереди):
(5.3.5)
6. Среднее время ожидания в очереди:
(5.3.6)
Предположим теперь,
что число мест в очереди неограниченно
Для определения вероятности
получаем условие нормировки в виде
ряда:
Для того, чтобы
ряд сходился должно выполняться условие
Можно показать, что если это условие не
выполнено, то СМО не справляется с
обслуживанием (очередь неограниченно
возрастает). Суммируя этот ряд, получаем:
(5.3.7)
Переходя в формулах
(5.3.1) – (5.3.6) к пределу когда
получаем следующие выражения:
(5.3.8)
Формулами (5.3.7), (5.3.8) и определяются характеристики СМО в случае, когда число мест в очереди не ограничено.
Пример 5.3.1.
В магазин оптовой торговли поступают заявки покупателей. С целью
установления
необходимого числа обслуживающих
устройств (продавцов) было проведено
обследование входящего потока заявок
и времени их обслуживания. В таблице
представлены сведения о входящем потоке
требований и времени их обслуживания:
входящее число требований
,
в течение часа встречающееся в выборочном
обследовании; частота появления
соответствующего числа требований
;
интервалы ряда распределения времени
обслуживания
,
мин.; количество
обслуженных заявок, когда время
обслуживания заявки попадает в
соответствующий интервал.
ТРЕБУЕТСЯ:
1. Предполагая, что поток заявок пуассоновский, а время обслуживания является случайной величиной, распределенной по показательному закону, определить основные показатели работы системы с n обслуживающими устройствами для систем с неограниченной очередью:
а) среднее число заявок поступающих за 1 час;
б) среднее время
обслуживания одной заявки
и среднее число заявок
,
обслуживаемых за 1 час;
в) среднюю длину
очереди
;
г) среднее время
ожидания в очереди
.
2. Рассчитать число обслуживающих устройств, если время пребывания покупателя в очереди не должно превышать T мин.
Исходные данные задачи представлены в таблице.
Решение.
1. Определим основные показатели работы СМО:
а) среднее число заявок , поступающих за 1 час:
Исходные данные
-
T
n
Показа-
тели
рядов
Ряды распределения входящего
потока событий и времени обслуживания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
5
7
10
12
10
7
4
3
1
0 – 30
30 – 60
60 – 90
90 – 120
120–150
90
40
15
10
5
б) среднее время обслуживания одной заявки и среднее число заявок,
обслуживаемых за
1 час:
среднее число
требований, обслуживаемых в единицу
времени (час), находим по формуле
По вычисленным значениям и определяем:
Так как в данном
случае уровень
загрузки СМО
то СМО не справляется с обслуживанием.
Предварительно найдем минимально
необходимое число обслуживающих
устройств из условия
Очевидно, этим числом является
в), г) вычислим при
вероятность
,
через которую выражаются средняя длина
очереди и среднее время ожидания в
очереди. По формуле (5.3.7)
Далее, по формулам (5.3.8)
часа.
2. Подберем число
обслуживающих устройств n
так, чтобы среднее время ожидания в
очереди не превосходило 5 мин. = 0,083 часа.
При
,
При
Аналогично, при
Таким образом, для того, чтобы время ожидания в очереди не превосходило 5 мин, количество обслуживающих устройств (продавцов) должно быть не менее шести.