Раздел 5

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

5.1. Основные элементы системы массового обслуживания (смо)

СМО можно представлять себе как организационную структуру, занимающуюся обслуживанием клиентов (заявок, требований). Примеры СМО: автоматическая телефонная станция (АТС), станция технического обслуживания и др. Основной структурный элемент СМО – узел обслуживания, который характеризуется числом обслуживающих устройств (n). Поступающее в СМО очередное требование направляется на обслуживание, если хотя бы одно из обслуживающих устройств свободно. В противном случае либо требование теряется (в системах без ожидания), либо ставится в очередь (в системах с ожиданием).

Каждая СМО характеризуется интенсивностью входящего потока заявок (средним числом заявок, поступающих в СМО за единицу времени) и интенсивностью обслуживания (средним числом заявок, обслуживаемых за единицу времени одним обслуживающим устройством). При расчете основных характеристик работы СМО выдвигаются следующие два предположения:

А. Входящий поток заявок (требований) на обслуживание – пуассоновский, т.е. вероятность того, что за время t в СМО поступит k требований, определяется формулой

(5.1.1)

Б. Время обслуживания T является случайной величиной, распределенной по показательному закону, т.е.

(5.1.2)

Пусть и – случайные события, состоящие в том, что за бесконечно малое время dt в СМО поступит l заявок на обслуживание и будет обслужено l заявок соответственно. Из предположений А и Б, а так же из выражений (5.1.1), (5.1.2) следует, что с точностью до бесконечно малых величин второго порядка

при (5.1.3)

при (5.1.4)

Соотношения (5.1.3) получаются из (5.1.1) при путем отбрасывания членов ряда Тейлора начиная со степени В (5.1.4)

Если в СМО на обслуживании находится k требований то в (5.1.4) следует заменить на

Отметим одно свойство времени обслуживания, распределенного по показательному закону: распределение длительности оставшейся части обслуживания не зависит от того, сколько обслуживание уже продолжалось.

Для доказательства этого предложения обозначим через вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжалось время a, продлится еще не меньше чем время t. Так как то

Так как по теореме умножения вероятностей

то

откуда и следует указанное свойство.

5.2. Расчет вероятностей состояний смо

Введем события – в момент времени t в системе находится k требований; – за бесконечно малый промежуток времени dt в СМО поступило l требований (обслужено l требований).

Пусть n – число обслуживающих устройств, m – число мест в очереди. Задача состоит в определении вероятностей Событие при может осуществиться лишь следующим образом:

т.е. в момент t в СМО находилось требование, а за время dt поступило одно требование и ни одно из требований не было обслужено или в момент t в СМО находилось k требований, а за время dt ни одно требование не поступило и ни одно из требований не было обслужено или в момент t в СМО находилось требование, а за время dt ни одно требование не поступило и одно из требований было обслужено. Вероятности других возможностей осуществления события ничтожно малы.

С учетом соотношений (5.1.3), (5.1.4) вероятности событий определяются следующим образом:

Перенесем в левую часть, разделим на dt и перейдем к пределу при

(5.2.1)

При в (5.2.1) должно отсутствовать первое слагаемое:

При

При

При в (5.2.1) должно отсутствовать последнее слагаемое:

При требования теряются, т.е.

Эти соотношения определяют систему дифференциальных уравнений для нахождения вероятностей Далее будем рассматривать установившийся режим работы СМО, который соответствует случаю Можно показать, что полученная система имеет решение, причем каждая вероятность имеет предел при и при Полагая в дифференциальных уравнениях получим следующую систему алгебраических уравнений для определения вероятностей (стационарных вероятностей). Для удобства каждое уравнение системы разделено на и введено обозначение – интенсивность загрузки СМО:

Из первых двух соотношений этой системы последовательно получаем

(5.2.2)

Далее, при

(5.2.3)

Дополнительное условие позволяет определить вероятность

(5.2.4)

Таким образом, выражениями (5.2.2) и (5.2.3), где находится по формуле (5.2.4), определяются стационарные вероятности СМО.