3.2. Задача о нахождении равновесных цен на товары

В этом пункте будут использоваться обозначения, введенные в п.3.1. На исследуемом экономическом объекте при заданных объемах валового выпуска товаров определены технологические коэффициенты прямых товаро-затрат a_{i j} и ресурсо-затрат b_{i j} , а также цена w_k единицы каждого первичного ресурса k (k = 1, 2,…, m). Требуется построить математическую модель для определения системы равновесных цен p₁, p₂,…, p_n на производимые товары, при которой обеспечивается заданная величина удельной добавленной стоимости v_i, приходящаяся на каждую единицу выпускаемого товара (i = 1, 2,…, n).

Для решения поставленной задачи подсчитаем стоимость первичных и вторичных ресурсов, идущих на производство одной единицы выпускаемой продукции каждого вида:

– суммарная стоимость всех первичных ресурсов, идущих на производство одной единицы выпускаемой продукции вида j;

– суммарная стоимость вторичных ресурсов, идущих на производство одной единицы выпускаемой продукции вида j (как и выше, под вторичными ресурсами понимается часть выпускаемой продукции, идущая на внутреннее потребление).

Складывая указанные выше суммы с добавленной стоимостью на одну единицу выпускаемой продукции, получаем систему уравнений для нахождения неизвестных равновесных цен p₁, p₂,…, p_n на производимые товары:

.

Полученную систему можно считать математической моделью для определения равновесных цен на производимые товары. Запишем эту систему в матричной форме:

(3.2.1)

Здесь символом М^Т обозначена матрица, транспонированная к М. Если обозначить через G сумму затрат на первичные ресурсы и добавленной стоимости, т. е.

,

то решение уравнения (3.2.1) запишется в виде

.

3.3. Задача о максимизации суммарного конечного потребления товаров

Пусть известны цены p_i выпускаемых товаров, технологические коэффициенты прямых товаро-затрат a_{i j} и ресурсо-затрат b_{k j} а также запасы r_k имеющихся первичных ресурсов. Требуется построить математическую модель для нахождения натуральных объемов x_i полного выпуска товаров, обеспечивающих в условиях сбалансированной экономики максимальную суммарную стоимость F конечного потребления всех товаров (максимум национального продукта в терминах макроэкономики).

Если y_i есть неизвестные объемы конечного потребления товаров, то целевая функция задачи примет вид

и должна быть максимизирована при условии сбалансированности экономики и ограничениях на использование первичных ресурсов . Здесь через O и R обозначены матрица–столбец из нулей и матрица–столбец запасов первичных ресурсов:

Из уравнения Леонтьева (3.1.2) выразим неизвестный вектор Y и подставим в целевую функцию. Получим задачу линейного программирования для вектора неизвестных X, которая и является искомой математической моделью:

. (3.3.1)

Отметим, что последнее соотношение в (3.3.1) означает обеспеченность вторичными ресурсами для производства полных выпусков товаров объемом X.

Пример 3.3.1.

Предприятие включает в себя три цеха по производству различной продукции и использует при этом четыре вида первичных ресурсов. Продукция, выпускаемая каждым цехом, частично отгружается за пределы предприятия (для удовлетворения конечного спроса), а частично распределяется внутри предприятия между цехами в качестве вторичных ресурсов. Баланс предприятия в натуральном выражении за прошедший год приведен в следующих двух таблицах:

Таблица производства товаров за предыдущий год

(внутреннее и внешнее потребление)

Произв-во товаров	Внутреннее потребление , единиц			Конечный спрос , единиц	Удельная добавленная стоимость, , $
	цех 1	цех 2	цех 3
цех 1 цех 2 цех 3	200 100 20	80 210 110	120 190 270	500 100 400	310 360 480

Таблица расхода первичных ресурсов за предыдущий год

Первичные ресурсы	Расход ресурса за год, единиц			Цена за единицу, $
	цех 1	цех 2	цех 3
	160	40	60	22
	1300	1400	900	8
	300	1100	200	16
	200	600	1000	5

Госзаказ по отгрузке продукции на следующий год i-м цехом:

ТРЕБУЕТСЯ:

1) найти матрицы коэффициентов прямых товаро-затрат и ресурсо-затрат;

2) найти план полных выпусков продукции каждого вида;

3) найти необходимые запасы ресурсов каждого вида;

4) найти равновесные отпускные цены на товары, если доля зарплаты в добавленной стоимости каждого цеха за предыдущий год составляла: Кроме этого, в следующем году зарплата должна повыситься на 10 % .

Решение.

Если обозначить через полные выпуски продукции каждым цехом, то можно составить следующие соотношения

где – непосредственный натуральный расход продукции i-го цеха для обеспечения выпуска всей продукции j-го цеха. Числа называются коэффициентами прямых товаро-затрат. Их можно определить по статистическим данным за предыдущий год, т.е. Смысл коэффициента – количество продукции i-го цеха, используемое для производства 1 единицы продукции j-го цеха.

Аналогично, расход k-го ресурса j-м цехом представим в виде

Тогда коэффициенты называются коэффициен-тами прямых ресурсо-затрат. Они определяют количество k-го ресурса, необходимое для производства единицы продукции j-го цеха и находятся по результатам статистических данных за предыдущий год.

1) Для определения коэффициентов найдем полные выпуски продукции каждым цехом за предыдущий год:

Тогда матрицы A и B коэффициентов и принимают вид:

2) Заменяя выражения найденными коэффициентами получаем систему уравнений для определения искомых полных выпусков продукции:

Эту систему можно записать в матричной форме где

E – единичная матрица, X – матрица-столбец из неизвестных, C – матрица-столбец из чисел Решая полученное матричное уравнение, найдем полные выпуски продукции. Его решение имеет вид: Строим обратную матрицу Для этого найдем алгебраические дополнения и определитель для матрицы Имеем:

Аналогично:

При этом

Умножая матрицу на C, найдем искомые полные выпуски продукции:

т.е.

3) При определении запаса k-го вида ресурсов, необходимого для производства найденных полных выпусков продукции, достаточно умножить матрицу ресурсо-затрат B на матрицу-столбец из полных выпусков продукции:

т.е. запас ресурса следует иметь в количестве 325,3 ед., ресурса – в количестве 4386 ед., ресурса – в количестве 1947 ед., ресурса – в количестве 2209 ед.

4) Обозначим через искомые равновесные отпускные цены за единицу товара i-го цеха. Неизвестные удовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений

которую называют моделью равновесных цен. Эту систему можно записать и решить в матричной форме:

Здесь P – матрица-столбец из неизвестных, W – матрица-столбец стоимостей ресурсов, V – матрица-столбец из удельных добавленных стоимостей, – транспонированные матрицы.

Таким образом, для нахождения вектора равновесных цен на товары следует найти числа – удельную добавленную стоимость на единицу выпускаемого товара i-м цехом. Так как предполагается увеличить зарплату на 10 % по сравнению с предыдущим годом, то на 10% от величины заработной платы должна увеличиться добавленная стоимость. Вычислим коэффициенты . Для этого к удельной добавленной стоимости за предыдущий год следует добавить увеличение зарплаты, т.е.

Так как

то

т.е. равновесные цены составят: 642,4 $, 1163 $, 1365 $.