Раздел 3

БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ

В экономических исследованиях линейные балансовые модели используются для математического описания состояния общего равновесия в сбалансированном экономическом объекте (стране, регионе, отдельном предприятии). Этот объект рассматривается как некоторая система, потребляющая m видов первичных (невоспроизводимых) ресурсов и производящая n видов товаров. При этом некоторая часть выпуска каждого товара может вывозиться за пределы объекта (на экспорт), другая часть – использоваться на непосредственное конечное потребление, а так же расходоваться внутри самого объекта на производство других товаров (в качестве вторичного, переработанного ресурса). Неудовлетворенный спрос на некоторые товары может покрываться за счет их ввоза из–за пределов объекта (импорт).

Ниже будут рассматриваться простейшие ситуации: экспорт и импорт отсутствуют; часть производимых товаров расходуется на внутреннее потребление, другая часть – на конечное потребление.

3.1. Матричная модель планирования в. Леонтьева

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Объединение включает в себя n предприятий по производству различной продукции. На планируемый период по каждому виду продукции известны объемы конечного потребления. Требуется найти полные выпуски каждого вида продукции, чтобы удовлетворить внутреннее и конечное потребления, а так же необходимые для этого запасы первичных ресурсов.

Для решения поставленной задачи введем обозначения:

– известные объемы конечного потребления i-й продукции;

– неизвестные полные выпуски i-й продукции;

– количество i -й продукции, идущее на производство всей j-й продукции.

Если известны так называемые технологические коэффициенты прямых товаро-затрат – количество i-й продукции идущее на производство одной единицы j-й продукции, то

(3.1.1)

Из чисел можно составить матрицы:

Тогда соотношения (3.1.1) можно записать в матричной форме

(3.1.2)

Уравнение (3.1.2) и является матричной моделью планирования. Она создана выдающимся экономистом 20-го столетия В. Леонтьевым и повлекла за собой развитие различных направлений в математике и экономике.

Для решения модели (3.1.2) введем единичную матрицу n–го порядка E и представим X=E·X. Тогда из (3.1.2) (E–A)·X = Y и решение уравнения (3.1.2) можно представить в виде

(3.1.3)

Формулой (3.1.3) даются в матричной форме полные выпуски продукции каждого вида при известном конечном потреблении и при известных технологических коэффициентах. Отметим, что технологические коэффициенты выбираются из нормативных документов или вычисляются по результатам работы объединения в период, предшествующий планируемому (если технология производства товаров не меняется, то коэффициенты существенно не изменяются).

По решению (3.1.3) можно определить необходимые запасы ресурсов для обеспечения производства полных выпусков продукции. Обозначим через коэффициенты прямых ресурсо-затрат (количество единиц k-го ресурса, идущее на производство одной единицы j-й продукции). Коэффициенты так же выбираются из нормативных документов или вычисляются по результатам работы объединения в предшествующий период. Из них можно составить – матрицу B:

Тогда произведением

определяется необходимый запас ресурсов.