Вычисление luр-разложения (метод Гаусса с выбором ведущего элемента).

Будем называть элементы, на которые мы делим в процессе построения LU-разложения ведущими. Видно, что они стоят на диагонали матрицы U. Матрица Р соответствует перестановке уравнений, которая предотвращает деление на ноль (или на очень маленькое число) в описанном процессе. Этот прием называется выбором ведущего элемента. Нам дана невырожденная (пп)-матрица А, а построить мы хотим матрицы P, L и U (матрицу перестановки, нижне-треугольную матрицу с единицами на главной диагонали и верхне-треугольную матрицу), для которых PA = LU.

Сначала переместим ненулевой элемент из первого столбца матрицы А – пусть это a_k1 в левый верхний угол матрицы. (Если в первом столбце одни нули, матрица вырожденная, а мы предположили, что это не так. Переставим строки 1 и к в матрице А (что соответствует перестановке уравнений, умножив А слева на матрицу перестановки Q. Тогда

,

где v = (а₂₁, а₃₁, …, а_к-1,1, а₁₁, а_к+1,1, …, а_п1)^Т (к-й элемент заменен на первый), w^T – (а_к2, …, а_кn), и матрица А' имеет размер (п-1)  (п-1); теперь a_k1 0 и мы можем действовать как для LU-разложения, не опасаясь деления на ноль:

.

Матрица А' – vw^Т/a_k1 (дополнение Шура) является невырожденной (иначе вторая матрица выписанного разложения имела бы определитель 0, и сама матрица А имела бы определитель 0, что противоречит условию). По индуктивному предположению построим для (п-1)  (п-1) матрицы А'–vw^Т/a_k1 LUP-разложение, найдя нижне-треугольную матрицу L’ с единицами на главной диагонали, верхне-треугольную матрицу U' и матрицу перестановки Р’, для которых

P’(А' – vw^Т/a_k1) = L’U’.

Рассмотрим матрицу

Она будет матрицей перестановки (как произведение двух матриц перестановки). Искомым LUP-разложением будет

Матрица L’ - нижне-треугольная с единицами на главной диагонали, a U' – верхне-треугольная, и потому матрицы L и U также обладают этим свойством.

Отличие от аналогичных формул для LU-разложения состоит в том, что вектор-столбец v/a_k1 и дополнение Шура А' – vw^Т/a_k1 умножаются на матрицу перестановки Р'.

10

Система линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ + … + а_1тх_т = b₁,

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ + … + а_2тх_т = b₂,

а₃₁х₁ + а₃₂х₂ + а₃₃х₃ + … + а_3тх_т = b₃,

………………………………………….

а_m1х₁ + а_m2х₂ + а_m3х₃ + … + а_mтх_т = b_m .

В матричной форме записи эта система принимает вид Ax = b, где

, , .

Будем предполагать, что матрица А задана и является невырожденной. Известно, что в этом случае решение системы существует, единственно и устойчиво к входным данным, т.е. рассматриваемая задача является корректной.

Метод прогонки.

Метод прогонки является простым и эффективным алгоритмом решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами:

b₁x₁ + c₁x₂ = d₁ ,

a₂x₁+b₂x₂+c₂x₃ = d₂ ,

…………………………………………………

(21)

a_ix_i-1+b_ix_i+c_ix_i+1 = d_i ,

…………………………………………

a_m-1x_m-2+b_m-1x_m-1+c_m-1x_m = d_m-1 ,

a_mx_m-1+b_mx_m = d_m .

Системы такого рода часто возникают при решении различных задач математической физики, а также при решении других вычислительных задач (например, приближения функций сплайнами).

Вывод расчетных формул.

Преобразуем первое уравнение системы (21) к виду

x₁=₁x₂+₁ ,

где ₁= -с₁ / b₁ , ₁ = d₁ /b₁.

Подставим полученное для х₁ выражение во второе уравнение системы:

a₂(₁x₂ +₁) + b₂x₂ + c₂x₃ = d₂ .

Преобразуем это уравнение к виду:

x₂ = ₂x₃ + ₂ , (22)

где ₂   с₂ /b₂  ₁ ,   d₂  ₂₁ /b₂a₂₁ .

Выражение (22) подставляем в третье уравнение системы и т.д.

На i - м шаге этого процесса получаем (1< i < m) i-е уравнение системы преобразуется к виду

x_i = _ix_i+1 + _i , (23)

где _i = -c_i /(b_i + a_i_i) , _i = (d_i - a_i_i)/(b_i+a_i_i-1) .

На т-м шаге подстановка в последнее уравнение выражения x_m-1 = _m-1x_m + _m-1 дает

_m_m-1x_m + _m-1 + b_mx_m = d_m .

Отсюда

x_m = _m = (d_m - a_m_m-1)/(b_m + a_m_m-1) .

Значения остальных неизвестных теперь легко вычисляются по формуле (23).

Алгоритм прогонки.

Сделанные преобразования позволяют организовать вычисления метода прогонки в два этапа.

Прямой ход метода прогонки (прямая прогонка) состоит в вычислении прогоночных коэффициентов _i (1 i<m) и _i (1 i<m) . При i=1 коэффициенты вычисляются по формулам

₁  -с₁₁ ₁  d₁ ₁  ₁ = b₁,

а при i = 2, 3, … , m-1 - по рекуррентным формулам

_i  -с_i _i _i  ( d_i- a_i_i-1) _i  _i = b_i + a_i_i-1 .

При i = m прямая прогонка завершается вычислением

_m  ( d_m - a_m_m-1) _m  _m = b_m + a_m_m-1 .

Обратный ход метода прогонки (обратная прогонка ) дает значения неизвестных. Сначала полагают х_т = _т. Затем значения остальных неизвестных вычисляются по формуле

х_i = _ix_i+1 + _i , i = m-1, m -2,… , 1.

Вычисления ведут в порядке убывания значений i от т - 1 до 1.

Непосредственный подсчет показывает, что для реализации вычислений требуется примерно 8т арифметических операций. Кроме того, трехдиагональная структура матрицы системы позволяет использовать для ее хранения лишь 3т - 2 машинных слова.

Таким образом, при одной и той же производительности и оперативной памяти ЭВМ метод прогонки позволяет решать системы гораздо большей размерности, чем стандартный метод Гаусса для систем уравнений с заполненной матрицей.

Достаточными условиями на коэффициенты прогонки, при которых решение системы является корректной задачей, являются

b_ka_kc_k b_ka_k (1 k m) .

11