Найпростіші властивості кілець.

1. Нуль кільця K є єдиним елементом, нейтральним відносно додавання.

2. Для а K елемент –а є єдиним елементом в K, протилежним з а відносно додавання, причому – (–а) = а.

3. Рівняння b + x = a для a, b K має єдиний розв’язок: x = a + (–b), який називається різницею елементів a і b, позначається a – b. Отже, a – b = a + (–b).

4. Якщо a + b = a + c, то b = c.

5. Для будь-якого набору (a₁, … , a_n) елементів кільця K визначена сума a₁ + a_n, значення якої не залежить ні від розташування дужок, ні від порядку доданків.

6. Для будь-якого елемента a K виконуються рівності: a 0, 0 a;

7. Правило знаків a (–b) = –ab; (–a) b = –ab; (–a) (–b) = ab.

8. a K, a a a … a = aⁿ.

9. a K, a^m aⁿ = a^m+n, (a^m)ⁿ = a^mn.

10. В комутативному кільці (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ.

11. В комутативному кільці

(a+b)ⁿ=aⁿ+ a^n-1b+ a^n-2b²+…+ a^n-kb^k+…+bⁿ.

Означення 4. Елемент a K ділиться на елемент b 0 того ж кільця, якщо існує такий елемент q K, що a = bq.

Означення 5. Відмінний від нуля елемент а кільця K називається дільником нуля в K, якщо в K існує відмінний від нуля елемент b, такий, що a b = 0.

Означення 6. Кільце K називається областю цілісності, якщо в ньому немає дільників нуля.

Означення 7. Характеристикою кільця з одиницею K називається нуль, якщо при n 0, маємо ne 0, і найменше натуральне число, для якого ne = 0, в противному випадку.

Теорема 1. Якщо K – кільце характеристики n, то для будь-якого елемента a K маємо na = 0.

Кільце є природною областю для побудови теорії подільності.

Виконуються наступні твердження:

1. Відношення подільності рефлексивне і для a K, a 0, a a.

2. Відношення подільності транзитивне; якщо a b і b c, то a c.

3. Якщо a c і b K, то ab c.

4. Якщо a b і b c, то (a b) c.

5. Якщо a c, a b не ділиться на c, то a b не ділиться на c.

6. Нуль ділиться на будь-який відмінний від нуля елемент в кільці K.

7. Будь-який елемент a кільця K ділиться на одиницю e.

Означення 8. Елемент e кільця K називається зворотнім, якщо в K існує такий елемент , що = e.

Теорема 2. Множина зворотних елементів кільця K утворює комутативну групу відносно множення (група зворотних елементів кільця K).

Властивості відношення подільності в областях цілісності.

Теорема 3. Якщо a 0 – елемент області цілісності K, то з рівності ab = ac, де b,c K, випливає b = c.

Означення 9. Якщо K – область цілісності і a b, то єдиний елемент q K, такий, що a = bq, називають часткою від ділення a на b.

Означення 10. Елементи a і b області цілісності K називаються асоційованими в K, якщо існує зворотній елемент K, такий, що a = b .

Теорема 4. Для того щоб в області цілісності K виконувалися відношення a b і b a, необхідно і достатньо, щоб елементи a і b були асоційовані в K.

Означення 11. Елемент a області цілісності K називається простим в K, якщо він не є зворотнім в K, а будь-який елемент b або зворотній в K, або асоційований з a.

Означення 12. Елемент a області цілісності K називається складеним, якщо його можна розкласти на множники a = b c, причому b і c не є зворотними в K.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Доведіть що множина чисел вигляду a+b , де a і b – цілі числа, є кільцем. Чи комутативне це кільце?

2. Доведіть, якщо ціле число d не є точним квадратом, то числа вигляду a+b , a,b Z, утворюють кільце.

3. Які властивості множення в кільці забезпечують справедливість формули бінома Ньютона для елементів цього кільця?

4. Які елементи кільця називаються дільниками нуля? Чи можуть бути дільники нуля в числових кільцях?

5. Які елементи кільця називаються зворотними? Знайдіть зворотні елементи в кільці Z[ ] чисел вигляду a+b , a,b Z і Z[- ].

6. Чи може бути в кільці нескінченно багато зворотних елементів?

7. Чи ділиться число 3 – 5 на число 2 + 3 в кільці Z[ ]? Та число 7+17 на число 3 + 4 ?

8. Доведіть, якщо а – дільник нуля в кільці K, то элементи виду ab, де b K, також є дільниками нуля.

9. Які елементи області цілісності R називаються асоційованими?

10. Доведіть, що елементи 1+2 і –8+3 кільця Z[ ] асоційовані.

11. Які елементи області цілісності K називаються простими, а які складеними? Чи є область цілісності об‘єднанням множини простих і множини складених елементів?

12. Доведіть, що числа 7 і 4 прості в кільці Z[i] і числа 13 і 7 складені в кільці Z[i].

Література: [1]гл. X, 43,44; [4]гл. III, 12; [2]гл. IV, 1.