Заняття 8. Тема: Результант многочленів. Позбавлення від ірраціональності в знаменнику дробу.

Аудиторні завдання.

1. Обчислити результант многочленів f(x) = 2x³–3x²+2x+1; g(x) = x²+x+3.

2. Розв’язати систему рівнянь:

3. При яких значеннях  многочлени f(x) = x³– x +2 і g(x) = x² + x+2 мають спільний корінь?

4. Знайти площу і радіус круга, описаного навколо трикутника, сторони якого дорівнюють кореням кубічного рівняння

x³ – ax² +bx – c= 0.

Вказівка: Виразити площу і радіус круга у вигляді симетричних функцій від його сторін.

5. Позбавитися від ірраціональності в знаменнику наступних дробів:

а)

б) в) .

Домашні завдання.

[10] cтор. 252 № 14, 17, 18, 19.

Заняття 9. Тема: Многочлени над числовими полями. Розширення полів.

Аудиторні завдання.

1. Знайти раціональні корені многочленів

а) f(x) = x⁴ + x³ – 11x² – 5x + 30;

б) f(x) = 4x⁵ + 12x⁴ + x³ + 6x² +10x + 3.

2. Розв’язати рівняння:

а) x⁴ – 2x³ + 6x² – 4x + 8 = 0;

б) x³ – 6x² + 30x – 25 = 0.

3. Відокремити дійсні корені многочлена f(x) = x⁵ + 5x⁴+7x³ +2x² –2x–1.

4. Показати, що число  є алгебраїчним відносно поля R та знайти його степінь n.

5. Знайти загальний вигляд чисел з простого алгебраїчного розширення поля R за допомогою алгебраїчного числа , якщо .

6. Побудувати поле .

7. Показати, що складене алгебраїчне розширення є простим алгебраїчним розширенням поля Q.

Домашні завдання.

[10] cтор. 264; № 1, 2, 3, 4;

cтор. 231; № 12, 13;

cтор. 228; № 3, cтор. 227 № 1 (a₂, a₁₄, a₇), № 2 (б₃, б₄, б₁₀, б₁₂).

Контрольні роботи Контрольна робота № 1

Дано множини відносно добутку

Задачі.

1. Довести, що D – група.

2. Довести, що К – група.

3. Побудувати таблицю Келі для D.

4. Побудувати таблицю Келі для К.

5. Знайти всі твірні елементи для групи D.

6. Знайти всі твірні елементи для групи К.

7. Знайти всі підгрупи і їх твірні в групі D.

8. Знайти всі підгрупи і їх твірні в групі К.

9. Розкласти групу D на класи спряжених елементів.

10. Розкласти групу К на класи спряжених елементів.

11. Розкласти групу D на ліві суміжні класи.

12. Розкласти групу К на ліві суміжні класи.

13. Довести, що в групі К кожна підгрупа – інваріантна.

14. Знайти нормальний дільник в групі D.

15. Побудувати фактор-групу групи К.

16. Побудувати фактор-групу групи D.

17. Довести, якщо |a| = n і a^k = 1, то n ділить k.

18. Довести, якщо |g| = n, то  gG g^k =1 тоді і тільки тоді, коли k ділиться на n.

19. Довести, якщо |G| = pq, p, q – різні прості числа і G – абелева, то в G існує елемент а, |a| = pq.

20. Довести, якщо |G| = pq, pq – прості числа, то в G існує інваріантна підгрупа.

21. Довести, якщо |G| = p², то вона або циклічна, або абелева.

22. Нехай C₁ – підкільце кільця C, I – ідеал кільця C. Довести, що C₁I – ідеал кільця C₁.

23. Довести, що в кільці цілих чисел Z кожен його ідеал – головний.

24. Довести, що при гомоморфізмі  двох кілець K₁ і K₂ (a – b)= (a)–(b).

25. Довести, що при гомоморфізмі  двох кілець K₁ і K₂ (a^–1) = [(a)]^–1 (якщо в K₁ для а існує обернений елемент a^–1).

26. Довести, що будь-який ідеал I кільця С є ядром гомоморфізму при відображення кільця С на фактор-кільце C/I.

27. Довести, що підмножина I кільця С є ядром гомоморфізму цього кільця на деяке кільце тоді і тільки тоді, коли I є ідеалом кільця С.

28. Довести, що характеристика будь-якого числового кільця дорівнює нулю.

29. Довести, що найменше підполе будь-якого поля характеристики нуль ізоморфне полю раціональних чисел.

30. Довести, що в кільці Z[i] простими є такі елементи: 3; 2 + i.

31. Довести, що в кільці Z[i] простими є такі елементи: –3; 2 – i.

32. Довести, що в кільці порушується однозначність розкладу на прості множники.

33. Довести, що в кільці порушується однозначність розкладу на прості множники.

Варіант	Задачі
1	№ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 14, 18, 22, 24, 26, 28, 31
2	№ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 21, 23, 25, 29, 30
3	№ 1, 3, 7, 11, 13, 19, 22, 26, 29, 23, 32, 27
4	№ 2, 4, 6, 8, 11, 13, 15, 19, 23, 24, 27, 31, 28
5	№ 1, 3, 5, 7, 9, 14, 16, 23, 27, 30, 22, 29, 33
6	№ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 17, 20, 24, 27, 28, 31
7	№ 1, 3, 5, 7, 9, 14, 20, 22, 25, 26, 28, 30, 32
8	№ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 30
9	№ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 31
10	№ 2, 4, 6, 8, 10, 13, 18, 15, 20, 24, 26, 28, 32