Заняття 5. Тема: Кільце многочленів від однієї змінної над даним полем.
Аудиторні завдання.
Довести, що многочлени від однієї змінної з коефіцієнтами з будь-якого поля Р утворюють кільце.
Довести, що в кільці многочленів Р[х] будь-який ідеал – головний.
Знайти найбільший спільний дільник многочленів:
f(x) = x7–3x6 +5x5 –7x4 +7x3 –5x2 +x –1,
g(x) = 7x6 –18x5 +25x4 –28x3 +21x2 –10x +3
та підібрати многочлени (x) i (x) так, щоб виконувалася рівність:
f(x)(x) + g(x)(x) = 1.
Знайти многочлен найменшого степеня, що дає в остачі (x+1) при діленні на (x–1)2 і (2x –1) при діленні на (x –3)2.
Розкласти многочлен f(x) за степенями двочлена (x – a), а також знайти значення многочлена і усіх його похідних при x=a:
f(x) = x4 +3x3 –8x2 +4x –1, a =2.
Знайти кратність множника (x + a) для многочлена
x5 +7x4 +16x3 +8x2 –16x –16, a =2.
Відокремити кратні множники многочлена
f(x) = x6 – 6x4 – 4x3 +9x2 +12x +4.
Домашні завдання.
[10] cтор. 205 № 3 (б, в); № 5 (в, д); № 6 (б, в); № 7 (г, д);
№ 8 (б, в); № 9; № 10 (а, в).
Заняття 6. Тема: Корені многочлена.
Аудиторні завдання.
Знайти значення многочлена
f(x) = x6 + 3x4 + 2x3 – 9x2 +5 при x = – 2.
З‘ясувати, чи є коренями многочлена f(x) = 2x4 + 3x3 – 4x2 +2x –3 числа a = 1; 2.
Знайти кратність кореня x = 5 многочлена
f(x) = x5 – 15x4 + 76x3 – 140x2 +75x –125.
Визначити а і b так, щоб многочлен f(x) = x5 – 15x4 + ax2 +bx +1 мав число – 2 коренем не нижче 2-ої кратності.
Знайти многочлен найменшого степеня, що має корені 2; і та двократний корінь – 1.
Визначити а, b, с так, щоб вони були коренями многочлена f(x) = x3 – ax2 +bx – c.
Знайти необхідну та достатню умову, при якій корені многочлена f(x) = x3 + ax2 +bx + c утворюють геометричну прогресію.
Сума двох коренів многочлена f(x) = 2x3 – x2 – 7x + дорівнює 1. Знайти .
Знати суму кубів коренів многочлена f(x) = xn + a1xn–1 + … + an.
Нехай f(x) – многочлен з дійсними коефіцієнтами. Доведіть наступні твердження:
а) якщо числа f(a) і f(b) різних знаків, то в інтервалі (а, b) міститься непарна кількість коренів многочлена f(x);
б) якщо f(a) і f(b) – числа одного знаку, то в інтервалі (а, b) міститься парна кількість коренів многочлена f(x).
Відомо, що числа 1, 2 , …, n є коренями многочлена
f(x) = a0xn + a1xn–1 + … + an.
Знайти многочлен, що має своїми коренями числа:
а) – 1, – 2 , …, – n;
б)
.
12. Побудувати поле розкладу многочлена (вказати вид елементів цього поля) f(x) = x6 – 15x4 + 71x2 – 105; f(x)Q[x].
Домашні завдання.
[10] cтор. 228 № 4, 5, 7, 10, 9.
Заняття 7. Тема: Многочлени від n змінних.
Аудиторні завдання.
Довести, що многочлени від n невідомих x1, x2, …, xn над Р утворюють комутативне кільце.
Виразити многочлен
через основні симетричні многочлени.Виразити многочлен
через основні симетричні многочлени.Знайти суму кубів коренів рівняння x4 + 2x3 + x2+5x + 3 = 0.
Розкласти на множники многочлен f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 – 3xyz.
Скласти многочлен, що має своїми коренями куби коренів многочлена f(x) = x2 + px + q.
Домашні завдання.
[10] cтор. 253 № 5, 7, 8, 9.