Контрольні питання для самоперевірки.

1. Дайте означення алгебраїчного числа відносно поля Р.

2. Дайте означення мінімального многочлена алгебраїчного числа.

3. Покажіть, що поле комплексних чисел є простим алгебраїчним розширенням поля дійсних чисел за допомогою елемента i.

4. Доведіть, що число = є алгебраїчним та знайдіть його мінімальний многочлен.

5. Побудувати поле та знайти його степінь відносно поля Q.

6. Доведіть, що поле дійсних чисел R не є скінченим розширенням поля раціональних чисел Q.

7. Доведіть, що кожне складене алгебраїчне розширення поля Р є простим розширенням цього поля.

8. Знайдіть базис і степінь поля F над полем Р, якщо .

Література: [4], §33;[3]гл. 17, §2[1] §58;[2]гл. 9, §1.

Лекція 19. Тема: Розв’язування рівнянь в квадратних радикалах.

План.

1. Поняття про розв’язування рівнянь в квадратних радикалах.

2. Зв’язок з розширеннями числових полів.

3. Необхідна і достатня умови можливості виразу кореня многочлена в квадратних радикалах.

4. Розв’язність в квадратних радикалах рівнянь 3-го і 4-го степеня.

5. Задачі, що зводяться до рівнянь, не розв’язних в квадратних радикалах.

Короткий зміст лекції.

Означення 1. Поле F називається квадратним розширенням поля Р, якщо існує такий елемент , що F=Р( ) , Р, Р.

Рівняння

( є Q) (1)

розв’язується в квадратних радикалах, якщо його корені можна виразити раціонально(тобто за допомогою операцій додавання, віднімання, множення і ділення) через корені ланцюга двочленних квадратних рівнянь:

Отже, рівняння (1) розв’язується в квадратних радикалах, якщо існує зростаючий ланцюг числових полів

такий, що кожне поле ланцюга є квадратичним розширенням попереднього поля і поле містить всі корені рівняння (1).

Означення 2. Основним полем ? (або областю раціональності) рівняння =0 (2)

називається алгебраїчне розширення Q( , ,..., ) поля Q раціональних чисел, утворене приєднанням до нього коефіцієнтів даного рівняння.

Лема 1. Для того, щоб рівняння (2) розв’язувалося в квадратних радикалах, необхідно і достатньо, щоб кожний із його коренів можна було виразити в квадратних радикалах через деякі числа поля ?.

Означення 3. Якщо ? - основне поле рівняння (2), а , ,..., - корені цього рівняння, то поле =?( , ,..., ), утворене приєднанням до ? усіх коренів (j= ), називається нормальним полем (нормою) або полем розкладу даного рівняння.

Терема 1. Для того, щоб рівняння (2) розв’язувалося в квадратних радикалах, необхідно і достатньо, щоб будь–яке число нормального поля виражалося в квадратних радикалах через числа основного поля ?.

Якщо ? - квадратичне розширення поля ?, то будь-яке число ? виражається в квадратних радикалах через числа поля ?.

Терема 2. Рівняння третього степеня з раціональними коефіцієнтами розв’язується в квадратних радикалах тоді і тільки тоді, коли воно має хоч би один раціональний корінь.

Отже, рівняння з раціональними коефіцієнтами розв’язується в квадратних радикалах тоді і тільки тоді, коли многочлен є незвідним в кільці Q[x].

Оскільки знаходження коренів многочлена 4-го степеня зводиться до розв’язання допоміжного кубічного рівняння – резольвенти , то рівняння 4-го степеня розв’язується в квадратних радикалах тоді і тільки тоді, коли його резольвента розв’язується в квадратних радикалах.