Розв’язання рівнянь третього степеня:

Підстановкою перетворюємо це рівняння до вигляду:

в якому відсутній член з . Достатньо вміти розв’язувати кубічне рівняння . (*)

Нехай , тоді одержуємо рівняння:

Накладаємо на і додаткову умову: , одержуємо рівняння:

Знаходження коренів звелося до розв’язання системи рівнянь

;

;

де - дискримінант кубічного рівняння (*).

Тоді + - формула Кардано для знаходження коренів кубічного рівняння.

Рівняння 4-го степеня.

Метод Феррарі розв’язування рівняння четвертого степеня.

До обох частин рівняння додаємо :

.

До обох частин одержаної рівності додамо ще , де t- допоміжне невідоме:

.

Підберемо значення t так, щоб права частина останнього рівняння стала новим квадратом вигляду .Для цього треба виконання умов:

; ; .

Після перетворень одержуємо рівняння:

,

яке є кубічною резольвентою даного рівняння четвертого степеня. Якщо - будь-який корінь останнього рівняння, то одержуємо сукупність рівнянь:

Корені цих рівнянь дають всі розв’язки рівняння

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Доведіть теорему про існування кореня многочлена над полем комплексних чисел.

2. Доведіть, що над полем комплексних чисел многочлен n-го степеня має n коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність.

3. Доведіть, що над полем комплексних чисел кожен многочлен, степінь якого вище першого, звідний.

4. Яка залежність між коефіцієнтами і коренями многочлена?

5. Доведіть, що для многочлена з дійсними коефіцієнтами комплексно спряженим значенням х відповідають комплексно спряжені значення f(x).

6. Доведіть, що над полем дійсних чисел будь-який многочлен, степеня вище 2, звідний.

7. Доведіть, що многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має хоч би один дійсний корінь.

8. Розв’яжіть кубічне рівняння

9. Розв’яжіть рівняння 4-го степеня

Література:. , § 3,1; гл.16; , § 30; , § 28, 29; , § 23, 24; , гл.6, § 3.

Лекція 16. Тема: Відокремлення дійсних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.

План.

1. Межі дійсних коренів.

2. Число дійсних коренів.

3. Відокремлення дійсних коренів. Метод Штурма.

Короткий зміст лекції.

Нехай - многочлен з комплексними коефіцієнтами;

Тоді всі корені многочлена f(z) знаходяться в середині круга з центром у початку координат і радіусом .

Якщо f(z) має дійсні корені то вони розміщені в інтервалі - ; [.

Число дає одночасно верхню межу додатних коренів многочлена і нижню межу від’ємних коренів многочлена f(z).

Метод Ньютона знаходження верхньої межі додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами:

Число М є верхньою межею додатних коренів многочлена f(z), якщо при x=M многочлен f(x) має додатне значення, а всі його похідні – невід’ємне значення.

Якщо і - верхні межі відповідно додатних коренів многочленів з дійсними коефіцієнтами f(x), , то додатні корені многочлена f(x) знаходяться в проміжку , а від’ємні – в проміжку

Нехай - деяка впорядкована послідовність дійсних чисел.

Означення 1. Кількість пар сусідніх чисел цієї послідовності, які мають протилежні знаки, називають кількістю змін знаків даної послідовності.

Правило Декарта. Число додатних коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами дорівнює або на парне число менше кількості змін знаків у послідовності його коефіцієнтів.

Задача відокремлення дійсних коренів многочлена f(x) полягає в знаходженні тих інтервалів, у кожному з яких лежить тільки один корінь.

Метод Штурма відокремлення дійсних коренів многочлена f(x).

Нехай f(x) не має кратних коренів. Для многочлена f(x) будуємо ряд Штурма:

.

Для знаходження многочленів , застосовуємо алгоритм аналогічний алгоритму Евкліда:

де =- , тобто всі остачі беруться з протилежним знаком.

Теорема Штурма. Якщо a, b – довільні дійсні числа, які не є коренями многочлена f(x), то число р дійсних коренів многочлена f(x) в інтервалі ]a:b[ дорівнює p=S(a) – S(b), де S(a); S(b) – кількість змін знаків у ряді Штурма відповідно при x=a і x=b.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Доведіть, якщо А- найбільший з модулів коефіцієнтів многочлена, не враховуючи , то всі корені многочлена за модулем не перевищують ;

2. Доведіть, якщо при х = а значення многочлена і всіх його похідних додатні, то всі корені многочлена менші а.

3. Що являють собою многочлени Штурма?

4. Доведіть, якщо f(x) – многочлен з дійсними коефіцієнтами, який немає кратних коренів, то

а) останній з його многочленів Штурма не залежить від х;

б) два сусідніх многочлени Штурма не дорівнюють нулеві при одному і тому ж значенні х;

в) якщо один з многочленів Штурма при х=а перетворюється в нуль, то сусідні з ним многочлени Штурма при х=а приймають значення різних знаків;

г) якщо один із проміжних множників Штурма перетворюється в нуль, то число змін знаків в ряду Штурма не змінюється;

д) при перетворенні в нуль самого многочлена f(х) в ряду його многочленів Штурма загублюється одна змінна знака.

5. Відокремити дійсні корені многочлена

Література: [4] § 31;[3]гл.16, §4;[1] §39-41;[12] §15,16;[2]глю6, §4.