Властивості симетричних многочленів.

1. Множина усіх симетричних многочленів від n змінних над полем Р утворює область цілісності з одиницею.

2. Якщо симетричний многочлен f( ) містить деякий член , то він містить і член, утворений з даного перестановкою показників k₁+k₂+…+k_n.

3. Якщо – вищий член симетричного многочлена, то k₁ k₂ … k_n.

Означення 7. Симетричні многочлени

;

;

..............

називають елементарними симетричними многочленами.

Теорема про симетричні многочлени. Будь-який симетричний многочлен f( ) від n змінних над полем Р можна подати у вигляді многочлена від елементарних симетричних многочленів цих змінних з коефіцієнтами того самого поля Р. Таке зображення є єдиним.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Доведіть, що многочлени від n змінних з коефіцієнтами з поля Р утворюють кільце.

2. Дайте означення симетричного многочлена.

3. Доведіть, що симетричні многочлени від змінних з коефіцієнтами поля Р утворюють кільце.

4. Які многочлени називають основними симетричними многочленами?

5. Доведіть, що будь-який симетричний многочлен над полем Р від n змінних можна подати у вигляді многочлена від основних (елементарних) симетричних многочленів від тих же змінних.

6. Доведіть, що будь-який симетричний многочлен від коренів многочлена f(x) раціонально виражається через його коефіцієнти.

7. Обчисліть суму k-x степенів коренів рівняння a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n=0, k n.

8. Доведіть, що кільце многочленів P[x, y] над полем Р не є кільцем головних ідеалів.

Література: [3], гл. 15, 1, 2; [1], гл. 11, 51, 52; [4], гл. VI, 25, 26.

Лекція 13. Тема: Результант многочленів.

План.

1. Результант многочленів.

2. Дискримінант.

3. Розвязання системи алгебраїчних рівнянь.

Короткій зміст лекції

Означення 1. Результантом многочленів

називається вираз

,

де , ,..., - корені многочлена .

Результант двох многочленів над полем Р є елемент цього ж поля.

Результант у формі Сильвестра.

Результант у формі Сильвестра виражається через коефіцієнти многочленів f і g у вигляді визначника (m+n) порядку:

= … 0 … 0

… … 0

…………………………… рядків

0 … 0 … … 0

0 … 0 … 0 .. …

0 .. 0 … 0

0 … … 0

…………………………… рядків

0 … 0 … 0

0 … 0 … …

Для складання визначника Сильвестра достатньо m разів підряд записати коефіцієнти многочлена , починаючи кожний наступний запис із наступного стовпчика, те ж саме зробити n разів з коефіцієнтами многочлена .

Отже, результант многочленів ; будемо розуміти як визначник Сильвестра для цих многочленів.

Теорема 1. Для того, щоб многочлени і мали спільний корінь необхідно і достатньо, щоб їх результант дорівнював нулю.

Означення 2. Дискримінантом многочлена Є називається елемент поля Р

= ,

де - результант многочлена та його похідної .

Теорема 2. Многочлен має кратний корінь тоді і тільки тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю.

Теорема 3. Якщо результант многочленів і дорівнює нулю, то або многочлени і мають спільний корінь, або старші коефіцієнти обох многочленів дорівнюють нулю.

Теорема 4. Якщо многочлени і мають спільний корінь, то їх результант дорівнює нулю.

Нехай задано систему двох алгебраїчних рівнянь з двома невідомими з коефіцієнтами із поля Р:

Схема виключення невідомих з цієї системи така:

1) упорядковуємо многочлени і за спадними степенями одного із змінних, наприклад x;

2) складаємо результант , розглядаючи змінну як параметр;

3) знаходимо всі корені результанта ;

4) підставляємо в задану систему замість змінної значення ;

дістаємо сукупність L систем двох рівнянь з одним невідомим x;

5) розв’язуємо цю сукупність систем рівнянь і складаємо відповідні пари розв’язків.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Дайте означення результанта двох многочленів.

2. Як записується результант двох многочленів у формі Сильвестра?

3. Доведіть, якщо многочлени мають спільний корінь, то їх результант дорівнює нулю

4. Дайте означення дискримінанта многочлена.

5. Доведіть, якщо многочлен має кратний корінь, то його дискримінант дорівнює нулю.

6. Як за допомогою результанта розв’язати систему двох рівнянь з двома невідомими?

Література: , гл.15, § 3, , гл. 6, § 27.