Лекція 11. Тема: Існування коренів многочлена. Поле розкладу.

План.

1. Теорема про існування коренів многочлена (Кронекера).

2. Поле розкладу.

3. Формули Вієта.

Короткий зміст лекції.

Теорема Кронекера. Якщо f(x) – будь-який многочлен над полем Р, степінь якого 1, то існує розширення K поля Р, в якому міститься деякий корінь f(x).

Теорема 1. Для будь-якого многочлена f(x) P[x] степеня 1 існує таке розширення L поля Р, що f(x) в L[x] можна представити у вигляді добутку лінійних множників.

Означення 1. Поле L називається полем розкладу многочлена f(х), якщо f(x) в L[x] розкладається на лінійні множники.

Многочлен f(x) P[x] n-го степеня має в полі розкладу n коренів .

В полі розкладу многочлена f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ його канонічний розклад має вигляд

f(x) = a_n

(k₁+k₂+…+k_m = n).

Теорема Вієта. Якщо - корені многочлена

f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ P[x], то

= ,

= ,

................

=

................

= .

Означення 2. Поле Р називається алгебраїчним, якщо воно є полем розкладу для будь-якого многочлена f(x) P[x] ненульового степеня.

Інакше, Р – алгебраїчно замкнене поле, якщо всі корені будь-якого многочлена f(x) Р[x] належать цьому полю.

Поле комплексних чисел С є полем розкладу будь-якого многочлена f(x) С[x], тобто поле С алгебраїчно замкнене.

Максимальна степінь незвідного в кільці С[x] многочлена дорівнює одиниці.

Контрольні питання для самоперевірки.

1. Доведіть теорему про існування кореня многочлена?

2. Дайте означення поля розкладу многочлена.

3. Як побудувати поле розкладу многочлена?

4. Доведіть, що многочлен f(x) P[x] n-го степеня має в полі розкладу n коренів.

5. Як виражаються коефіцієнти многочлена f(x) через його корені?

6. Визначить так, щоб один з коренів многочлена х³-7х+2 дорівнював подвоєному другому.

7. Побудуйте поле розкладу для многочленів: f = x²–3; f = x³–1; f =x⁴–8x²+15.

Література: [1], гл. 10, 49.

Лекція 12. Тема: Многочлен від n змінних.

План.

1. Побудова кільця многочленів від кількох змінних над областю цілісності.

2. Вищий член многочлена, вищий член добутку многочленів.

3. Симетричні многочлени.

4. Основна теорема про симетричні многочлени.

Короткий зміст лекції.

Означення 1. Кільцем многочленів R[ ] від n змінних над областю цілісності R називається кільце многочленів від змінної x_n над кільцем R[ ].

Кільце многочленів R[ ] над областю цілісності R є область цілісності, причому кожен елемент f R[ ] можна розглядати як скінчену суму:

F = , (*)

де a_i R; k_i , i = , j = ; елемент f називають многочленом від n змінних над R, позначають f( ).

Кожен доданок в сумі (*) називають членом многочлена f( ), елемент a_i R – коефіцієнтом цього члена.

Означення 2. Два члени многочлена, які відрізняються тільки коефіцієнтами, називаються подібними.

Будемо вважати що в сумі (*) подібних многочленів немає і назвати таку форму запису многочлена канонічною.

Кожен многочен з кільця R[ ] можна записати в канонічній формі єдиним способом.

Означення 3. Степенем члена многочлена f( ) називається сума k₁+k₂+…+k_n. Число k_i і = , називають степенем даного члена відносно х_і.

Означення 4. Найбільший із степенів членів многочлена називається степенем многочлена, а член з найбільшим степенем – членом многочлена.

Означення 5. Многочлен називається однорідним, якщо всі його члени мають одну і ту ж степінь.

Вважають, що член вищий від члена , якщо k₁=l₁; k₂=l₂; …; k_i-1=l_i-1i; k_i>l_i.

Відношення “бути вищим” на множині членів многочлена є лінійним строгим порядком, його називають лексикографічним.

Якщо члени многочлена f( ) упорядковані лексикографічно, то перший по порядку член називають вищим членом многочлена.

Лема. Вищий член добутку двох многочленів дорівнює добутку вищих членів цих многочленів.

Будь-який многочлен f( ) над полем Р ненульового степеня можна представити у вигляді добутку многочленів, незвідних у полі Р і при тому єдиним способом з точністю до сталих множників і порядку множників.

Кільце P[ ] не є кільцем головних ідеалів, отже, воно не може бути евклідовим.

Означення 6. Многочлен f( ) з кільця P[ ] називається симетричним відносно змінних , якщо внаслідок довільної перестановки змінних утворюється многочлен, який дорівнює даному.